確率の問題です

質問

暇なときに、ふと考えてしまった問題です。

スタートからゴールに行くまでに、１０個の扉があります。
ボタンを押して扉が開く確率は、１個目から順番に

９９％→８０％→６０％→４０％→３０％→２０％→１０％→１５％→１１％→１１％

となっています。

最大で３０回挑戦して、ゴールまでたどり着ける確率は何％くらいなのでしょうか？

また、ゴールまで辿りつける確率が５０％を超えるには、
何回挑戦すれば良いのでしょうか？

恐れ入りますが、計算式と解答を教えていただきたいです。
以上、よろしくお願いいたします。

回答No.4

sanori

１回挑戦して成功する確率ｐは、
ｐ　＝　０．９９×０．８×０．６×０．４×０．３×０．２×０．１×０．１５×０．１１×０．１１
よって、１回挑戦して失敗する確率は、１－ｐ

３０回挑戦して１度も成功しない確率は、
（１－ｐ）^30
よって、３０回限度の挑戦で成功する確率（＝３０回挑戦して１回以上成功する確率）は、
１－（１－ｐ）^30　＝　6.20972722 × 10^(-5)

なお、ｐが１に比べて著しく小さいので、一次近似により
１－（１－ｐ）^30　≒　１－（１－３０ｐ）　＝　３０ｐ
　＝　6.2099136 × 10^(-5)
としても、あまり違いはありませんね。

５０％を超えるためには、回数をｎとして
１－（１－ｐ）^ｎ　≧　０．５
であること。

（１－ｐ）^ｎ　≧　１－０．５

ｎ＝１００のとき　１－（１－ｐ）^ｎ　は、0.000206975912
ｎ＝１０００のときは、0.00206783243
ｎ＝１００００のときは、0.0204869646
ｎ＝１０００００のときは、0.186978183
ｎ＝１００００００のときは、0.873810854

ｎ＝３０００００のときは、0.46258894
ｎ＝４０００００のときは、0.563073083

というわけで、３０万回と４０万回の間に答えがあります。

では真面目（？）に計算します。
（１－ｐ）^ｎ　≧　１－０．５
log （１－ｐ）^ｎ　≧　log ０．５
ｎlog（１－ｐ）　≧　log０．５
ｎ　≧　log０．５／log（１－ｐ）　＝　334858.023
使用した電卓の精度は不明ですが、５０％にするには、334859回ぐらい必要という結果になりました。

回答No.3

morigann

一部訂正
50%を超えるのは50/0.00020699712で、およそ241549回ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ANo.1様にもお書きしましたが、
おそらくご回答いただいた確率は
「３０回連続で成功する確率」だと思われます。

最初の質問で説明不足で申し訳ないです；；

補足

お礼の訂正ですが、「３０回」ではなく「１０回」でした；；

回答No.2

morigann

すべて掛け算して、およそ１回につき0.0000020699712の確率で最後の扉が開きます。
よって0.00020600712％
30回やれば0.0062099136％
50%を超えるのは50/0.0000020699712で、およそ24154925回かな？

回答No.1

miracle3535

辿り着ける確率は
0.99*0.8*0.6*0.4*0.3*0.2*0.15*0.1*0.11*0.11=0.00000207
になります。
従って、0.5にするための回数は
0.5÷0.00000207=251549回
になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

大変申し訳ないのですが、ご回答いただいた確率は、
１０回連続で成功する確率ではないでしょうか？

お昼くらいに考えすぎて私もよくわからなくなってしまってるのですが、
７回目の扉で５回失敗したり、８回目の扉で３回失敗したりする可能性もあるので、
もうちょっと複雑な計算になりそうです。。