確率の問題で

質問

お聞きしたいのですが、
例えば抽選箱に玉が10個入っていて、その中の1つが当たり玉だとします(1/10)
で、10人が順番に引いていくとします（引いたのは戻さない）
一人目の人が当たりを引ける確率は1/10、一人目の人がハズレを引いた場合二人目の人が当た
りを引く確率は1/9・・・といった感じで抽選していくと後で引く人ほど当たりを引ける確率が上がることになりますよね？
でも、後で引くということは先に抽選した人が当たりを引いてしまうことがあり、抽選すらできないこともあることになります。　

用はこの条件で抽選する場合、どのタイミングで引くのが一番期待値は高くなるのでしょうか？
どう考えていいのかが分かりません。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞どのタイミングで引くのが一番期待値は高くなるのでしょうか？
この場合、考えるのは「期待値」ではなく、「確率」です。
（当たりを引くという「期待」に対してという意味で使われているのかもしれませんが。）

確率は、どのタイミングでも 1/10で同じです。
まさに質問で言われているように、
・先に引くと、はずれが多いけど、まだ当たりは引かれていない。
・後に引くと、先に当たりが出ている可能性もあるが、
まだ当たりが出ていなければ自分が当たりを引く可能性もある。

ということが数字となって現れてきます。

具体的に計算で考えてみると、
・1回目で当たりを引く確率は、1/10
・2回目で当たりを引く確率は、1回目はずした上で当たりを引くので、9/10* 1/9＝ 1/10
・・・
・8回目で当たりを引く確率は、「7回目まではずした上で」なので
9/10* 8/9* 7/8*・・・ * 3/4* 1/3＝ 1/10

とはずれを引く確率がどんどんかかってきます。

お礼

たしかにこの場合、期待値ってのはおかしいですね。
計算式ありがとうございます、ものすごく理解できました。

回答No.4

nezusuke

順列を使っても計算できます。考え方は難しいですが、これは１０をまとめて考えることができます。１０本のくじを１列に並べることを考えると、全事象は１０！で、そのうち２人目の場合、２番目に当たりのくじとはずれ９本を並べる場合なので、並べ方は1×９！となるります。
よって当たる確率は(1×９！/１０！)＝1/１０です。
あとの人も同じ式になり確率は皆、１／１０となります。

お礼

順列、、計算式で!を使うのを数年ぶりにみました。
たしかに全事象に対して、順番に考えていく考えもできますね。
ありがとうございます。

回答No.3

gohtraw

結論からいうと、玉を取り出すことを始める前の時点では皆同じです。例えば一人目と二人目を比較すると
一人目：１／１０の確率で当たり、９／１０の確率で外れ
二人目：一人目が当たりの場合、外れしかない→確率はゼロ
　　　　一人目が外れの場合、１／９の確率で当たり→一人目が外れである確率を考慮すると９／１０＊１／９
従って二人目が当たりになる確率は０＋９／１０＊１／９＝１／１０　で一人目と同じになります。

ではｎ人目で当たりが出る確率はどうなるか考えてみましょう。ｎ人目が当たりを引くためには（ｎ－１）人目までは全員外れを引くことが必要です。その確率は
９／１０＊８／９＊・・・＊（１０－ｎ＋１）／（１０－ｎ＋２）＝（１０－ｎ＋１）／１０　・・・（１）
であり、次に玉をとりだすｎ人目が当たりを引く確率は
１／（１０－ｎ＋１）　・・・（２）
ですから、（１）と（２）を総合するとｎ人目が当たりを引く確率は
（１０－ｎ＋１）／１０＊１／（１０－ｎ＋１）＝１／１０
になります。

お礼

nを使った計算、、、学生時代を思い出しました。
ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

何番目でも一緒。
玉を1列に10個並べたときにn番目にあたりの玉が来るか考えるとわかりやすい。
1番目でも5番目でも10番目でもその確率が同じだとわからないだろうか。

お礼

10個の玉を実際ノートに書いてみて考えたら分かりました。
自分で変に難しく考えてたみたいです。