微分積分を用いた力学について

質問

物体が空気中で落下運動する時、物体は空気中から抵抗力を受ける。抵抗力の大きさは、物体の速度に比例するとする。すなわち、物体の速度がvのときの抵抗力は-γvと表される。ただしγは正の定数である。

質量mの物体を時刻0において空気中で静かに話し、落下運動させた。鉛直下向きを正の向きにとる。時刻ｔにおける物体の速度をv、重力加速度をgとすると、物体の運動方程式は
m((dv)/(dt))=mg-γv
と表されその解はv=Aexp(-λt)+B
で与えられる。ただし、A、Bおよびλは、条件によって決まる定数である。次の各問いに答えよ。

(1)十分時間が経過すると、物体は一定の速度に達する。この速度を終端速度と呼ぶ。その速度はいくらか。

(2)初期条件(t=0でv=0)および(1)の結果よりA,Bを定めよ。

(3)解を運動方程式に代入し、任意の時刻ｔにおいて等式が成立することを考慮すると、λは決まる。λはいくらになるか。

回答No.3

Tann3

No.1です。「お礼」に「よろしくお願いします」とのことですので、今回だけ特別に。
　ていねいに書くので、ちょっと長くなります。
　No.2さんが、（１）に関しては的確な回答をされていますが、（３）が違うように思います。（指数関数のべき乗係数が「正」では、発散してしまうので）

（１）解として、

　　　　v = A * exp(-λt) + B　　　（Ａ）

が与えられています。
　解（Ａ）で、初期条件として t = 0 のとき v = 0 を代入すれば

　　　　0 = A + B
　　　∴　A = -B　　　　　（Ｂ）

　よって、（Ａ）は

　　　v = B * [ 1 - exp(-λt) ]　　　（Ａ１）

　ここで、「t →∞」にすれば、「exp(-λt)→0」ですよね。

　ということで、終端速度「v∞」は

　　　　v∞ = B

　この「v∞ = B」は、そこでは「速度が一定」になっているということですから、

　　　dv/dt = 0

という条件から、微分方程式で

　　　m * g - γ * B = 0

ということです。これから,、γ≠0　として、

　　　B = 　m * g / γ

　よって、（Ａ）は

　　　v = (m * g / γ) * [ 1 - exp(-λt) ]　　　（Ａ２）

　これで（２）まで解けてしまいますね。

（注：（１）の模範解答に関しては、No.2さんの方が題意に沿っていて良さそうですね）

（２）念のため、解（Ａ１）を運動方程式に代入すると

　　　dv/dt = λ * B * exp(-λt)

ですから、

　　　　 m * λ * B * exp(-λt) = m * g - γ * B * [ 1 - exp(-λt) ]

　整理すると

　　　（m * λ * B - γ * B) * exp(-λt) = m * g - γ * B　　　　（Ｃ）

「t →∞」にすれば、左辺はゼロになるので、γ≠0　として、

　　　　　　B = m * g / γ　　　　（Ｄ）

　（１）の最後の計算とも一致しますね。

（Ｂ）より

　　　　　　A = - m * g / γ

　（Ｄ）を（Ａ１）に代入して

　　　v = (m * g / γ) * [ 1 - exp(-λt) ]　　　（Ａ２）

という、（１）と同じ結果が得られます。

（注：これは、t=0 のときに「v = ( λ * m * g / γ) * t 」の直線の接線で始まり、t が増加するとともに徐々にカーブが寝てきて、最終的に「 v = (m * g / γ) 」の一定値に漸近する、という曲線になります）

（３）（Ｃ）式が任意の時刻 t で成立するためには、左辺で

　　　　　m * λ - γ = 0

であればよいということです。

（注：この仮定がちょっと分かりづらいですが、下の区切り線以下に書いた「微分方程式を解析的に解く」ことと結果を合わせるために、無理やり条件と付けている感じがします）

　これより、

　　　　　λ = γ / m

　従って、

　　　v = (m * g / γ) * [ 1 - exp(-[γ / m] * t) ]　　　（Ａ３）

（解答終わり）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　問題のとおり進めれば上でよいのですが、（３）で「何故こうするの？」というのがちょっと分かりづらいですね。

　これは、もともとも微分方程式

　　　m * (dv/dt) = m * g - γ * v　　　（Ｆ）

をきちんと解析的に解かずに、何となく「解を想定して」解を求めているからです。

　質問者さんが、「微分・積分」を勉強しているなら、次のようにきちんと解いてみることをお勧めします。

　（Ｆ）のままだとちょっと面倒なので、変形します。

　　　dv/dt = g - (γ * v) / m
　　　　　　= - (γ / m) * v + g　　　（Ｆ２）

　さらに、積分しやすくするために、γ≠0　として

　　　v - m * g / γ = X　　　（Ｇ）

と置換します。そうすると

　　　dX/dt = dv/dt

で、（Ｆ２）式は

　　　dX/dt = - (γ / m) * X　　　（Ｆ３）

になります。さらに、γ / m = λ　とおけば、　（Ｈ）

　　　dX/dt = - λ * X　　　（Ｆ４）

この微分方程式は簡単に解けて、

　　　∫(1/X)dX = ∫(-λ)dt

より、C1を積分定数として

　　　-ln(X) = -λ * t + C1

従って、

　　　X = C2 * exp(-λ * t)
　　　　　（ただし C2 = exp(C1)

（Ｇ）式で、Xを元の v に戻して、

　　　v = C2 * exp(-λ * t) + m * g / γ

初期条件 t = 0 のとき v = 0 より

　　　C2 = - m * g / γ

よって

　　　v = (m * g / γ) * [ 1 - exp(-λ * t) ]

（Ｈ）のλを戻して

　　　v = (m * g / γ) * [ 1 - exp(-[γ / m] * t) ]

で（Ａ３）と同じ式が得られます。

　上の方で、「γ≠0　として」としていますが、では「γ＝0」だとどうなるのでしょうか？

　この場合には、最初の微分方程式は

　　　m * dv/dt = m * g

つまり

　　　dv/dt = g

で、簡単に解けて

　　　v = g * t + C3

初期条件　t=0 で v=0 から C3=0 で

　　　v = g * t

という単純な「空気抵抗のない自由落下」になります。

　（Ａ３）の曲線も、t=0 のときの「接線の傾き」は「g」になっていますね。
（dv/dtを計算して、t=0 を代入してみてください）

　ちょっと長くなりました。

回答No.2

noname#231195

(1)は関数の極限値の話ではありません。
物体は一定の速度に達する、ということは加速度が0であるということです。つまり
m((dv)/(dt))=mg-γv
という運動方程式で、tが十分大きければ
dv/dt=0
となる、ということを言っています。これはtが十分大きいところで
0=mg-γv
となるということです。つまり
v=mg/y
が終端速度になります。

(2)を考えるときにはexp(-x)のx→∞の極限値が0であることを知っていなけれはなりません。exp(x)がx→∞で無限大に発散するのですから、exp(-x)は当然0に収束しますね。
このことを知らなかったのなら覚えておかなければなりません。あるいはエクセルでもなんでもいいですから、exp(x)のグラフを書いてこの関数が決まった値に収束しないことを感じておくといいです。

このことを知っていれば終端速度がBと表すことができることがわかります。Aexp(-λt)の項が0に収束するからです。
一方(1)で終端速度をmg/yと求めたのですから
B=mg/y
です。
また、t=0でv=0なのですから
0=Aexp(-λ・0)+B
です。つまり
A=-B
となります。
A=-mg/y
です。

(3)では解を運動方程式に代入してごらんと書いてあるのですから、そうしてみましょう。
m(-λ)Aexp(-λt)=mg-γv
Aは上で求めていますから、これも使って書き直すと
m(-λ)mg/yexp(-λt)=mg-yv
t=0でv=0なのですから
m(-λ)mg/y=mg
です。"任意の時刻ｔにおいて等式が成立することを考慮"して、t=0の所で計算すれば十分だと考えました。この式を整理すれば、
λ=-y/m
ということになります。

いかが？

回答No.1

Tann3

それで、どこが分からないのですか？

（１）v の「解」がああ得られているのだから、それが t →∞　にしたらどうなるか。

（２）方程式に「解」を代入して整理し、t=0 の初期条件と（１）の条件でA,Bが決まる。

（３）「時間 t を含む項」で、任意の t で成立する条件を考える。具体的には、「時間 t を含む項」の係数がゼロになればよい。

　以上のヒントで解けるでしょう？
　ただの「与えられた「解」の式で微分方程式を解いて、係数の値を確定する」問題ですから。

お礼

回答ありがとうございます。

現在予習している形で、(1)すら答えを導出できない状態です。
おっしゃられているように(1)の答えがわかれば(2)(3)の答えも導けることは分かるのですが....

よろしくお願いします