約数と因数の違い(∈N)

質問

中学校3年で「素因数分解」が教科書に出てきます。
教科書では「因数」「素数」「素因数分解」の順に説明されています。「因数」と小学校で習う「約数」の違いは何ですか？
ほとんど同じなのかと思いますが、「因数」の方は1およびもとの数を含まないのかな？？と思ったのです。
だって多項式の因数分解の話では(x^2＋2x＋4)は実数の範囲では「因数分解できない」っていいますよね。

どなたか正確なところをご存知でしたら教えてください。また出典も教えていただければ幸いです。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

laminaeさん、こんにちは。

参考URLに詳しい説明が載っているのですが、
たとえば７の因数は、７だけで、１つです。
約数は、７＝１×７なので、１と７の２個です。
３０の因数は、
３０＝２×３×５
と素因数分解できますから、２と３と５の３種類なので、因数は３個。
しかし、約数は、いっぱいあります。
１，２，３，５，６，１０，１５，３０
これ、みんな３０の約数ですね。

約数とは、ある整数aが整数bで割り切れるとき、
この整数bを整数aの約数、といいます。
３０÷１＝３０
３０÷２＝１５
３０÷３＝１０
と、どれも割り切れて余りが出ないので、１も２も３も３０の約数だ、というわけです。

さて、約数は、どんどん細かく分けることができます。
たとえば、
８０÷１６＝５
なので、１６と５はともに８０の約数で
８０＝１６×５
また、１６＝４×４
なので、
８０＝４×４×５
４＝２×２なので
８０＝２×２×２×２×５
のように分解できます。
もう、これ以上には、分解できませんね。

このように、「もうこれ以上分解できない」状態を
素因数分解された状態といいます。
このとき、８０を素因数分解している数字の種類は
２（が４個）と５（が１個）ですね。
この２種類を、８０の因数といいます。
８０の因数は、２と５、といえます。

約数は、もっといっぱいありますよ。
１，２，４，５、８，１０，１６、２０、４０、８０
これ、全部、８０の約数ですね。

こういう感じです。ご参考になればうれしいです。

お礼

ガッテンしました。
1だけが因数ではないということですね。
ありがとうございます。

回答No.3

sokamone

約数も因数も一緒ですから、１も立派な因数です。
整数や、実数係数の多項式の因数分解とは、たとえば、
１２＝１×１２＝２×６＝２×２×３、
ｘ^3＋１＝２・(1／２)(x^3＋１)＝(x＋１)(x^2－x＋１)
などのように他の整数や多項式のいくつかの積で表すことをいいます。しかし、
１２＝１×１２＝(－1)(－１２)、
ｘ^3＋１＝２・(1／２)(x^3＋１)、
などのような分解はあまり意味があるとは思えません。
このような分解は「自明な因数分解」と言います。
整数の場合は、１または－1を因数とするような因数分解のことで、実数係数の多項式の場合だと、2回以上、式全体の実数倍をしているような因数分解のことです。
それとは逆に、自明な因数分解を除いて、それ以上細かい因数に分解できない分解を素因数分解、または既約分解といいます。素数はそれ以上素因数分解できない自然数のことです。

とまあこんなとこです。これ以上くわしいことは大学の代数学の本を読んで勉強してください。

回答No.2

sokamone

因数と約数は同じ概念です。
因数（約数）のうち、素数のものを素因数といいます。
ｘ＾２＋２ｘ＋４が「（実数の範囲で）因数分解できない」は、
正しくは、「（実数の範囲で）非自明な因数分解ができない」というべきです。
「自明な」というのは、つまらない、とか、おもしろくない、とか、わかりきった、という意味です。数学用語です。
出典といわれても困るのですが、たいていの大学生用の代数学の本をみれば詳しく載ってます。中学、高校のテキストはかなりの暗黙の了解を読者に強いますからこの手の疑問の解決にはならないと思います。

お礼

こんど代数学の本でも読んでみます。
ありがとうございます。