不等式の証明と文字の大小関係を自分で決める
不等式の証明で、文字の大小関係をいつ自分で決めても一般性は失われないかが、わからないので質問します。
問題は、p≧0,q≧0,p+q=1のとき、|ap+bq|≦√(a^2p+b^2q)・・・(1)の不等式を証明するです。
自分のやり方は両辺とも0以上だから右辺^2-左辺^2を考えて、整理しa^2(p-p^2)+b^2(q-q^2)-2abp(1-p)これにq=1-pを代入して、p(1-p)(a-b)^2。ここでq≧pとしても一般性は失われないとして、p+p≦p+q≦q+q,(0≦)p≦1/2≦qよりp≧0,1-p>0,(a-b)^2≧0だから不等式は証明された、等号成立はp=0またはa=bのときで、等号成立の間違いがありました。
解答では、右辺^2-左辺^2を考えて、qを消去しないで、pq(a-b)^2と計算をし、等号成立は、p=0またはq=0またはa=bのときでした。自分が勝手にa,bの大小をきめたので、解答のようにならなかったと思うのですが、自分の間違いの理由がわらないので、どなたかに間違いの指摘と訂正をお願いしたいのです。よろしくお願いします。
お礼
なるほど、根っこでは「お約束」という同じ意味を含んでいるのですね。 そういえば、公式って formula で、 formalと同源ですね。 なんとなく、同じ意味に見えてきました。 ありがとうございました。