期待値Eの式変形がわかりません

質問

教科書に出てきた等式ですが、左辺から右辺への式変形の課程がわかりません。

どなたか丁寧に教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

REX_IUDAEORUM

宮川公男『基本統計学［第3版］』に割と詳しい説明が載っています（p. 132）。

σ^2 = E [ (x - μ)^2 ] 　→σ^2は「分散」、μは「平均」
= E [ x^2 - 2μx + μ^2 ]
= E (x^2) - E(2μx) + E(μ^2)

E [ c * u(x) ] = c * E [ u(x) ]、
E [ u(x) + v(x) ] = E [ u(x) + E v(x) ]（u(x) 、 v(x)は確率関数、cは定数） なので、

= E (x^2) - 2μ * E(x) + μ^2

E (c) = c（つまり、E (μ) = μ）、
E [ c * u(x) ] = c * E [ u(x) ]なので、

= E (x^2) -2μμ + μ^2
= E (x^2) -2μ^2 + μ^2
= E (x^2) - μ^2

E (x) = μ（期待値＝平均値）なので、μ^2 = [ E (x) ]^2

σ^2 = E (x^2) - [ E (x) ]^2

となる。すなわち、「分散」は「2乗の期待値（＝2乗の平均値）」から「期待値の2乗（＝平均値の2乗）」を「引いた値に等しい」ということができる。

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　確率密度関数が与えられたとき、「期待値」（E (x)）「2乗の期待値」（E (x^2)）も積分計算で簡単に求められます。そうすると、分散は上記の性質を使えば、単純に、E (x^2) - [ E (x) ] ^2を計算すれば得られるということになります。そのための式変形です。例題などを使って、実際にそうなるかどうか、確認してみてくださいね。

　ご参考になりましたら幸いです。