∇の計算

質問

ナブラ演算子の計算方法がいまいちわかりません。
ベルヌーイの定理の導出でv・∇v(vは太字表記なのでおそらくベクトル)の計算をしたいのですが、
∇vはこの場合どう計算すればいいのでしょうか?
内積にも外積にもなりませんよね?

回答No.1

spring135

v↑・∇↑v↑はベクトルv↑とテンソル∇↑v↑の内積の意味です。

∇↑v↑=∇↑⊗v↑はベクトル演算子∇↑とベクトルv↑のテンソル積(⊗で表す)によって生成される

3×3のテンソルでそのij成分は

∂Vi/∂j (i,j=1,2,3)

です。

これに前から横ベクトルv↑(v1,v2,v3)を作用させると

ベクトルF↑(v1∂Vi/∂x1+v2∂Vi/∂x2+v3∂Vi/∂x3,v1∂V2/∂x1+v2∂V2/∂x2+v3∂V2/∂x3,

v1∂V3/∂x1+v2∂V3/∂x2+v3∂V3/∂x3)

が生成されます。

演算子としてv↑と∇↑との形式的な内積

v↑・∇↑＝v1∂/∂x1+v2∂/∂x2+v3∂/∂x3

を定義すると

F↑=(v↑・∇↑v1+v↑・∇↑v2+v↑・∇↑v3)=(v↑・∇↑)v↑

となり

結局

v↑・(∇↑⊗v↑)=(v↑・∇↑)v↑

となります。

左辺ではテンソルの計算が必要だったのに対し、右辺ではベクトル演算子v↑・∇↑をvの各成分に作用させるだけでよいということを示しています。

流体力学のナビェ・ストークスの方程式は

∂v↑/∂t+(v↑・∇↑)v↑=f↑ (f↑は外力項)

の形で書かれている場合が多いでしょう。

これからわかるようにv↑・∇↑は(1/時間)の次元を有し、(v↑・∇↑)v↑は加速度の次元になります。