回転です

質問

立方体ABCD-EFGHにおいて、ベクトルABをベクトルGCに移す行列は、

(0 0 -1
0 -1 0
-1 0 0) のようですが、理由がわかりません。お願いします。

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1で補足いただいた立方体の頂点名と座標を用いて説明します。

アフィン変換でやってもいいですが、変数変換の方が簡単なので
変数変換でやります。

ベクトルの移動を次の2回の回転移動に分解して考えるます。
AB↑　→　GH↑　→　GC↑

AB↑　→　GH↑　の回転移動は原点Oのまわりに180°回転する移動
（言い換えれば原点対称移動）なので
移動前のAB上の任意点の座標を(x1,y1,z1),移動後のGH上の座標を(x2,y2,z2)とすると
(x2,y2,z2)=(-x1,-y1,-z1) ...(1)
次に、
GH↑　→　GC↑　の回転移動は点Gのまわりに90°回転する移動なので
移動前のGH上の任意点の座標を(x2,y2,z2),移動後のGC上の座標を(x3,y3,z3)とすると
(x3,y3,z3)=(z2,y2,x2) ...(2)

AB↑　→　GC↑　の移動は、(1),(2)より
(x3,y3,z3)=(-z1,-y1,-x1)
書き下せば
x3=-z1, y3=-y1, z3=-x1

これを移動行列Mで表せば
X=
[x1]
[y1]
[z1]

Y=
[x3]
[y3]
[z3]

M=
[0,0,-1]
[0,-1,0]
[-1,0,0]

Y=MX
となります。

この行列Mは

>ベクトルABをベクトルGCに移す行列は、
>(0 0 -1
>0 -1 0
>-1 0 0) のようですが、理由がわかりません。お願いします。
と一致します。

お分かり？

お礼

ありがとうございます。
考えてくださり感謝します、参考にさせていただきます。

回答No.1

info222_

図が描いてないので、立方体の頂点の並び方が分かりません。
立方体の頂点を当方で仮定したケースでは、お書きの行列で回転してもAB↑がGC↑に移りませんでした。

立方体ABCD-EFGHの一辺の長さを2とし、中心を原点O(0,0)にとるとき、
8個の頂点A,B,C,D,E,F,G,Hの配置がどのようになっている、各頂点の座標を
補足に書いてもらえないですか？

お礼

ベクトルで考えてわかった気がします。ヒントになりました。ご協力ありがとうございます。

補足

A(1 1 1) B(-1 1 1) C(-1 -1 1) D(1 -1 1) E(1 1 -1)
F(-1 1 -1) G(-1 -1 -1) H(1 -1 -1)でした。すみません。