高校数学です

質問

一辺の長さがaの立方体ABCD-EFGHがある。
頂点Aから△BDEにおろした垂線をAIとする。

(1)四面体ABDEの体積Vを求めよ。

(2)△BDEの面積Sを求めよ。

(3)AIの長さを求めよ。

どなたか回答お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　四面体ABDEは　底辺を△ABDとすると高さAEの三角錐です。
　従って、求める体積は　(1/3)△ABD×AE=(1/3)×a^2/2×a=a^3/6

(2)　BD=DE=DB=√2 a　なので　△BDEは正三角形です。
　正三角形BDEの面積Sは　√3/4×(1辺の長さ)^2　なので　S=√3/4×(√2a)^2=√3/2 a^2

(3)　四面体ABDEは　底辺を△BDEとすると高さはAIになるので
　　a^3/6=(1/3)×(√3/2 a^2)×AI
　∴AI=(√3/3)a

　ちなみに、（3）のAIの長さだけを求めるなら、点Aを原点、直線ABをx軸、直線ADをy軸、直線AEをz軸として、平面BDEを x+y+z-1=0 と表し、ヘッセの公式から　|-1|/√3=√3/3 と求めることもできます。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

gohtraw

（１）三角形ABDを底面とすると、高さはAEになります。あとは三角錐の体積ですから・・・
（２）正三角形になりますよね？一辺の長さはBDですからａ√２ですね。
（３）四面体ＡＢＤＥの底面を△ＢＤＥと考えると高さはＡＩですね？

お礼

ありがとうございます