あと40分でタイムオーバー

質問

次の問題がいまいちわかりません・・・。
皆さん教えてください↓
一辺が１の立方体ABCD-EFGHを、対角線AGを含む平面で切断するとき、
切り口の面積の最小値を求めよ。

回答No.4

NobNOVA · ベストアンサー

とっくにタイムオーバーだけど（自分なりの）回答。
率直に言えば、答えは（root6）/2。

(Proof)
理由は、立体の対角線AGを含む断面図は、
必ず平行四辺形になり、その平行四辺形は必ず
平行四辺形の対角線AGを含む。
ここで、切り口の平行四辺形と辺BGとの交点をP、
また、辺DHとの交点をQとする。
このとき、AGは長さ一定で、
切り口の平面の面積は、2つの対角線の積に比例する
（要証明、菱形等を例に取れば理解は容易だが、
一般的な四角形については演習問題とする）。
従って、もうひとつの対角線PQが最小になるところを探せば、
そこが切り口の平面が最小となる切り方である。
ここで、AGは固定されてるので、AGとPQが交わる点は
一意に決まり、PQの最小値は（見れば分かると思うが）
BP=FP（またはDQ=HQ）となるところである
（要証明、この証明は微積の知識を必要とする）。
このような切り口の図形は菱形となり、
あとはその面積を普通に計算すればよい。
(Proof end)

補足：ちなみに最大値はroot2で、
辺ABまたは辺ADを通るように切った場合の切り口。
このとき切り口は長方形になる。
これが最大であることの証明は、
先ほどの証明と同様なので省略。

回答No.3

yagoocom

した、間違えました。
最後はAの２乗です。

回答No.2

yagoocom

1辺をAと仮定します。
断面図を菱形と考え、短い対角線が"ルート2"A。
1:2:"ルート5"より、1辺の長さが"ルート5"A/2
よって、長い対角線は2。
菱形の面積の公式より、
「"ルート2"A*2/2="ルート2"A」ですかね？
自信なし。

回答No.1

full3002

切り口の面積ということは

四角形ＡＢＦＥを横切る切り口が辺ＥＦ上でＥからｘの位置にあると考えれば
切り口の面積ｓは

ｓ＝√(1＋ｘ＾2) ＊ √(1＋(1-ｘ)＾2)

ですよね。
これを微分して極値を求めると、できると思います。
間違ってたらごめんなさい。
計算これからします。(自分計算遅いので…)
お急ぎのようなのでまずは解法まで。