回転を表す行列について。

質問

ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨはｘｙｚ平面上の一辺の長さが２の立方体である。
Ａ（１，１，１）　
Ｂ（－１，１，１）　
Ｃ（－１，－１，１）　
Ｄ（１，－１，１）
Ｅ（１，１，－１）　
Ｆ（－１，１，－１）　
Ｇ（－１，－１，－１）　
Ｈ（１，－１，－１）
である。
このとき，辺ＡＢを(1)～(5)に移す回転を表す行列をそれぞれ教えて下さい。

(1)ベクトルＨＥ
(2)ベクトルＨＧ
(3)ベクトルＤＨ
(4)ベクトルＣＧ
(5)ベクトルＧＦ

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足にお書きの２つの回転行列の例では
>これでは不十分でしょうか？
不十分です。
しかし、２つの回転行列の例から逆算すると、
ANo.1の(1)の列ベクトルを使用する回転ベクトルの定義を用いると
例と一致します。
なので「(1)の列ベクトルによる回転行列の定義」を使用していると
回答してもらえばよかったことになります。

以降この回転行列の定義を用いて解答します。
(1) M[AB]=[HE]
M=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]

[AB]=
[1,-1]
[1, 1]
[1, 1]

[HE]=
[ 1 , 1]
[-1, 1]
[-1,-1]

a+b+c=1
d+e+f=-1
g+h+i=-1
-a+b+c=1
-d+e+f=1
-g+h+i=-1

この連立方程式を解いて
a=0, b=1-c, d=-1, e=-f, g=0, h=-i-1
c=f=i=0とおけば
a=0, b=1, c=0, d=-1, e=0, f=0, g=0, h=-1, i=0

M=
[0,1,0]
[-1,0,0]
[0,-1,0]

(2) M[AB]=[HG]
M=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]

[AB]=
[1,-1]
[1, 1]
[1, 1]

[HG]=
[ 1, -1]
[-1,-1]
[-1,-1]

a+b+c=1
d+e+f=-1
g+h+i=-1
-a+b+c=-1
-d+e+f=-1
-g+h+i=-1

この連立方程式を解いて
a=1, b=-c, d=0, e=-f-1, g=0, h=-i-1
c=f=i=0とおけば
a=1, b=0, c=0, d=0, e=-1, f=0, g=0, h=-1, i=0

M=
[1,0,0]
[0,-1,0]
[0,-1,0]

(3) M[AB]=[DH]
M=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]

[AB]=
[1,-1]
[1, 1]
[1, 1]

[DH]=
[ 1, 1]
[-1,-1]
[ 1,-1]

a+b+c=1
d+e+f=-1
g+h+i=1
-a+b+c=1
-d+e+f=-1
-g+h+i=-1

この連立方程式を解いて
a=0, b=1-c, d=0, e=-f-1, g=1, h=-i
c=f=i=0とおけば
a=0, b=1, c=0, d=0, e=-1, f=0, g=1, h=0, i=0

M=
[0, 1, 0]
[0,-1, 0]
[1, 0, 0]

(4) M[AB]=[ＣＧ]
M=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]

[AB]=
[1,-1]
[1, 1]
[1, 1]

[CG]=
[-1,-1]
[-1,-1]
[ 1,-1]

a+b+c=-1
d+e+f=-1
g+h+i=1
-a+b+c=-1
-d+e+f=-1
-g+h+i=-1

この連立方程式を解いて
a=0, b=-1-c, d=0, e=-f-1, g=1, h=-i
c=f=i=0とおけば
a=0, b=-1, c=0, d=0, e=-1, f=0, g=1, h=0, i=0

M=
[0,-1, 0]
[0,-1, 0]
[1, 0, 0]

(5) M[AB]=[ＧＦ]
M=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]

[AB]=
[1,-1]
[1, 1]
[1, 1]

[GF]=
[-1,-1]
[-1, 1]
[-1,-1]

a+b+c=-1
d+e+f=-1
g+h+i=-1
-a+b+c=-1
-d+e+f=1
-g+h+i=-1

この連立方程式を解いて
a=0, b=-1-c, d=-1, e=-f, g=0, h=-i-1
c=f=i=0とおけば
a=0, b=-1, c=0, d=-1, e=0, f=0, g=0, h=-1, i=0

M=
[0,-1, 0]
[-1,0, 0]
[0,-1, 0]

(6) M[AB]=[FE]
M=
[a,b,c]
[d,e,f]
[g,h,i]

[AB]=
[1,-1]
[1, 1]
[1, 1]

[FE]=
[-1, 1]
[ 1, 1]
[-1,-1]

a+b+c=-1
d+e+f=1
g+h+i=-1
-a+b+c=1
-d+e+f=1
-g+h+i=-1

この連立方程式を解いて
a=-1, b=-c, d=0, e=1-f, g=0, h=-i-1
c=f=i=0とおけば
a=-1, b=0, c=0, d=0, e=1, f=0, g=0, h=-1, i=0

M=
[-1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0,-1, 0]

（以上）

お礼

あまりにも拙い質問に対して、ここまで丁寧にご回答いただきありがとうございました。感激しました。

回答No.1

info222_

回転行列の定義に2通りあります。
一般的に、回転行列と平行移動の変換をアフィン変換といいます。
その定義の仕方に2通りあって、それに伴い
回転行列の定義にも2通り出てきます。

(1) 列ベクトルXを列ベクトルYに回転する回転行列Mは
　Y=MX
(2) 行ベクトルXを行ベクトルYに回転する回転行列Mは
　Y=XM
という定義のどちらの定義の回転行列で回答すれば
よいでしょうか？あるいは、質問者さんが学ばれている定義は
(1),(2)のどちらですか？
それによって回答を変えないといけないため、回答願います。

各変換の参考URL

(1)の変換
ttp://www5.dent.niigata-u.ac.jp/~nisiyama/grad/affine.pdf
ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/system2/node2.html

(2)の変換
ttp://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Bay/4543/Rubic/Mathematics/Mathematics-3.html
ttp://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG

お礼

ありがとうございました。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
お問い合わせに対する答えになるかどうか分かりませんが（正直二つの区別もよくわからないレベルです）、

上記の問題で、
ベクトルHDに移す回転を表す行列は
(0 1 0)
(0 0 -1)
(-1 0 0)
ベクトルGHは同じく
(-1 0 0)
(0 0 -1)
(0 -1 0)
になります。

これでは不十分でしょうか？
もしよろしければ上記に加え、
ベクトルFEに移す回転を表す行列も合わせてご教示下さい。

お手数をおかけしますがよろしくお願いいたします。