微分方程式 xy'+(1+x)y = e^x

質問

いつもお世話になっております。以前回答していただいた方に教わったように、左辺=0として基本解を求め、そのあとにy=基本解*u(uはxの関数)とおいて特殊解を求めました。しかし答えとはまるで違う値になってしまって、もうよくわからなくなってしまったので、この問題の解答の過程を教えてください。よろしくおねがいします。ちなみに、答えにはy=C/xe^x +e^x /2x　とありました。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

前回の回答者です。

「y=基本解*u(uはxの関数)」の「基本解」は、正確には「基本解の１つ」と書いておくべきでした。教科書などと照らし合わせて、気づいておられたかもしれませんが、気づかず、Cを付けたまま計算したことで、悩んだり、計算ミスの元になってとしたら、申し訳ありませんでした。

基本解の「1つ」とは、Cがあると面倒なので、適当な値を入れたもの、のことです。
この問題では基本解が、本の表現では、C/(x*e^x)、前回示した奴では、C*e^(-x)/x なので(さすがにこれが同じものなのは大丈夫ですよね)、C=0だけは困りますが…
積分定数がなくなりますが、uを求める微分方程式で出てくるので、問題ありません。

なので、y = u*e^(-x)/x とおいてみます、
y' = u'*e^(-x)/x + u{-e^(-x)/x - e^(-x)/x^2} だから、
xy' = u'*e^(-x) - u*e^(-x)*(1 + 1/x)、xy = u*e^(-x) なので、

e^x = xy' + (1+x)y = u'*e^(-x) - u*e^(-x)*(1+x)/x + (1+x)*e^(-x)/x = u'*e^(-x)、
よって、u' = e^(2x)、これはこのまま積分すればいい微分方程式なので、
u = (1/2)e^(2x) + C、

よって、y = {(1/2)e^(2x) + C}*e^(-x)/x = e^x/(2x) + C*e^(-x)/x、
と、解答通りの「一般解」が出てきます。

違うものが出てきたとしたら、過程もあった方がいいのですが、
とりあえず、どんな答が出たのか、質問に書いてくださると、
ミスがあれば、指摘できますし、場合によっては、実は同じに
見えないが、それも答、という場合もあって、模範解答と形が
違うというだけで、悩みこむことが少なくない、そういうときに
実は同じだから、大丈夫だよ、という回答になることも、相当、
高い確率であるからです。

特殊解というのは、何か、１つ求まればいいので、例えば、
「一般解」にC=1を代入した、e^x/(2x) + e^(-x)/x という奴が、
何らかの方法で、たまたま、見つかってしまったとしたら、
「一般解」を、e^x/(2x) + e^(-x)/x + C*e^(-x)/x としても、
全く問題ありません。ただ、この場合は、後の２項をまとめて、
出てきた係数(C+1)を、Cに置き直すのが、普通の方法ですが、
どうかすると、こういう加減で、パッと見、同じにみえない解が
でてきたように見えることがあります。

色々な微分方程式を解くようになると、ちょっとした解き方の違い、
表現方法の違いなどで、パッと見どころか、全然違う形に見えて、
仮に同じだと解っていても、それを見える形にするのが、大変な
場合すらあります。

なので、模範解答は、頼りにできますが、比べて、明らかに自分が
間違っている場合以外は、念のため、元の微分方程式に代入してみる、
ちゃんと当てはまって、計算ミスもなければ、それも立派な解
(任意定数の個数が違うときなんかはそれじゃダメですが^^)、
それに、大学の教科書の練習問題の解答って、高校の教科書や
参考書に比べると、チェックの目が行き届いてないので、
結構、ミスやミスプリがあったりすることも。なので、
代入チェックは、毎回でなくても、折に触れて、やっておいた方が…。
(正誤表がはさんであるのに、気づかないまま紛失して、それで
オタオタしている学生さんもよくいますから^^)

回答No.4

ferien

No.3さん、ご指摘ありがとうございます。
>＞ ｌｏｇがつかなくなったら、絶対値ははずしてもいいようです。
>
>ダウト。 前回 A No.3 を参考に。

この問題では、実際自分で計算を行ったときは、最後まで絶対値ははずしませんでした。
ｘ＞０のときとｘ＜０で－ｘ＞０のとき、最後の結果が同じになると分かったので、絶対値がなくてもいいことを確認しました。
問題によってもいろいろ違うようですが、絶対値がなくても結果が同じかどうか確認できるまでは、絶対値をはずさないで計算を進める方が無難ということかもしれません。

回答No.3

alice_44

＞ ｌｏｇがつかなくなったら、絶対値ははずしてもいいようです。

ダウト。 前回 A No.3 を参考に。

回答No.2

ferien

xy'+(1+x)y = e^xを　ｘ＋（１／ｘ＋１）ｙ＝ｅ^x／ｘとして
線形微分方程式として解いたら、
>答えy=C/xe^x +e^x /2x　
が得られました。
途中出てくる、ｅ^log|x|＝｜ｘ｜　ｅ^(-log|x|)＝｜ｘ｜^(-1)とおきます。
（なぜこれらの式が成り立つかは、ｙ＝ｅ^log|x|などとおいて、両辺の対数を取ればわかります。）

ｌｏｇがつくときは、真数条件によりその部分が必ず正でなければならないので、｜ｘ｜としているのだと思います。ｌｏｇがつかなくなったら、絶対値ははずしてもいいようです。
任意定数Ｃがｘが正の場合も負の場合もまとめて表しているからです。
この問題の場合は、ｘ＞０としてもｘ＜０で－ｘ＞０としても、答えの結果は同じになります。

試してみて下さい。