センター物理 仕事 再

質問

図のように傾角60°の斜面と傾角3斜面をそれぞれの下端B,Cが同じ高さになるように、なめらかな曲面でつなぐ。
傾角30°の斜面上の端Cからの高さがHの点D'に質量mの小物体を置いて静かに離すと傾角60°の斜面上の端Bからの高さがh'の点A'まで上昇した ただし重力加速度をg、小物体と2つの斜面の間の動摩擦係数を共に√3/6とする。

問 h'はいくらか

解説 D'→C→B→A'の移動の各区間での重力と動摩擦力が小物体にする仕事の和をW[D'→C],W[C→B],W[B→A']としてW[D'→C]=mgH/2,W[C→B]=0,W[B→A']=-7mgh'/6となる。

端D'と端A'で小物体の運動エネルギーは0であるから、仕事と運動エネルギーの変化の関係によりW[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']=mgH/2-7mgh'/6=0 よってh'=3H/7となっていたのですが

仕事と運動エネルギーの変化の関係により
W[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']=mgH/2-7mgh'/6=0の部分なんですが、この式はD'からA'までした仕事の合計が0である事を意味しているのですが、D'とA'の運動エネルギーが0だったら仕事の合計が0になるんですか？

D'での力学的エネルギーをE[1],A'での力学的エネルギーをE[2]として、D'からA'の間で動摩擦力のした仕事の大きさをWとすると
E[1]-W=E[2]となって変形するとE[1]-E[2]-W=0ですよね、E[1]-E[2]はD'とA'は共に運動エネルギーは0なので位置エネルギーの変化量ですよね、定義から位置エネルギーの変化量=-(重力のした仕事)ですよね。-Wは動摩擦力のした仕事ですよね
ですからE[1]-E[2]-W=0は-(D'からA'まで重力のした仕事)+(D'からA'まで動摩擦力のした仕事)ですよね。ですから和では無くて差が0となってしまうのですが、どこが駄目なのでしょうか？

回答No.7

rnakamra · ベストアンサー

まとめてお答えします。

>外力をF(x) (ベクトルです)とすると外力の仕事Wは
>W=∫[初め→終わり]F(x)・dx
仕事ってF(x)ｘじゃないんですか？

違います。上の式が正しい仕事の式です。
経路が一直線で力の向きが一定の場合W=F・⊿x (Fは力のベクトル、⊿xは変位ベクトル)となります。

>W=∫[初め→終わり]F(x)・dx=∫[初め→終わり]ma・dx/dt*dt
右辺はdtで積分しているのに何で左辺は∫[初め→終わり]F(x)xdtじゃないんですか？

これは単に置換積分しただけ。積分する変数を変える数学的な処理です。
物理を突っ込んで勉強するなら数学も使いこなせるようにしましょう。
∫[初め→終わり]F(x)xdt この式の意味はなに?仕事を時間で積分してなにか意味あるの?

∫[D'からA'のx座標]maxdt=∫[D'からA'のx座標]Fxdt
⇔∫[D'からA'のx座標]m×dv/dt×dt=∫[D'からA'のx座標]Wdt
⇔∫[D'からA'のx座標]mdv=∫[D'からA'のx座標]Wdtとなって良く分からない式になるんですが、何が駄目なんでしょうか

仕事を時間で積分して意味あるの?何か得られるものがあるならいいが単なるお遊びのような気がする。
それと2段目の左辺、xが消えてる。そのため左右で次元が違い数学的以前に物理的に意味をなしていない。

お礼

後尾返答有難うございます

補足

>経路が一直線で力の向きが一定の場合W=F・⊿x (Fは力のベクトル、⊿xは変位ベクトル)と>なります。
今回の場合D'からA'は一直線上ではないので単純にxを掛けるというわけにはいかないというわけですね、そこで力のxの関数F(x)を横軸にxを取って縦軸に力Fのグラフで初めから終わりのx座標での力の値を積分すれば仕事が求まるわけですね

後の式は理解できました、確かに成り立っていますね
F(x)というのは綺麗な関数ではなくてその時その時のxで力の大きさを求めてグラフにするという感じですよね

回答No.6

rnakamra

#5です。
式を間違えた。

W=m∫[初め→終わり]dv/dt・v*dt=m∫[初め→終わり]v・dv=(1/2)m{v(終わり)}^2-(1/2)m{v(初め)}^2

最後から2個目のところで"・"を入れ忘れた。

お礼

御返答有難うございます

補足

D'からA'までの外力の大きさをFとしてD'からA'までの変位をxとするとD'からA'までの外力のした仕事はFxじゃないんですか？

運動方程式よりma=Fなので、両辺にxを掛けてmax=Fxこの両辺をxで積分すると

∫[D'からA'のx座標]maxdt=∫[D'からA'のx座標]Fxdt
⇔∫[D'からA'のx座標]m×dv/dt×dt=∫[D'からA'のx座標]Wdt
⇔∫[D'からA'のx座標]mdv=∫[D'からA'のx座標]Wdtとなって良く分からない式になるんですが、何が駄目なんでしょうか

回答No.5

rnakamra

>なるほど、運動エネルギーの変化が0だから右辺は重力のした仕事と動摩擦のした仕事の和なんですね、これは定義として覚えるしかないんですか？証明はできますか？

これもエネルギー保存則です。
重力を外力の一つとしてとらえ、位置エネルギーというものを考えないとこの形になります。

簡単に証明します。
外力をF(x) (ベクトルです)とすると外力の仕事Wは
W=∫[初め→終わり]F(x)・dx
(dxはベクトル,・は内積の記号)
となります。

運動方程式から
F(x)=ma (aは加速度ベクトル)
であり、積分する変数をxから時刻tに変換すると
W=∫[初め→終わり]F(x)・dx=∫[初め→終わり]ma・dx/dt*dt

ここで
dx/dt=v (vは速度ベクトル)
a=dv/dt
ですので
W=m∫[初め→終わり]dv/dt・v*dt=m∫[初め→終わり]vdv=(1/2)m{v(終わり)}^2-(1/2)m{v(初め)}^2
となります。

お礼

御返答有難うございます

補足

>外力をF(x) (ベクトルです)とすると外力の仕事Wは
>W=∫[初め→終わり]F(x)・dx
仕事ってF(x)ｘじゃないんですか？

>W=∫[初め→終わり]F(x)・dx=∫[初め→終わり]ma・dx/dt*dt
右辺はdtで積分しているのに何で左辺は∫[初め→終わり]F(x)xdtじゃないんですか？

回答No.4

rnakamra

#3のものです。

>運動エネルギーの変化=物体にくわえられた外力がした仕事で考えるとD'とA'で運動エネルギーの変化は0なのでD'からA'まで動摩擦力のした仕事は0になりますよね、

ほんとに#3の内容を読みましたか。そんなこと書いてない。

ここでいう外力は、内力以外のすべての力。つまり重力、摩擦、垂直抗力などのすべての力が物体に対してしている力の大きさです

と書いています。外力とは重力と摩擦の両方。重力と摩擦の仕事の合計が運動エネルギーの変化になる。摩擦だけの仕事ではない。

お礼

御返答有難うございます

補足

なるほど、運動エネルギーの変化が0だから右辺は重力のした仕事と動摩擦のした仕事の和なんですね、これは定義として覚えるしかないんですか？証明はできますか？

回答No.3

rnakamra

>結局W[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']=0となるのは何で分かるんですか？
これってD'からA'までの重力と動摩擦のした仕事の和ですよね、何で和が0になると分かるんですか？

これは
物体の運動エネルギーの変化=物体にくわえられた外力がした仕事
だからです。
左辺は力学的エネルギーではなく運動エネルギーであるというのがみそ。
ここでいう外力は、内力以外のすべての力。つまり重力、摩擦、垂直抗力などのすべての力が物体に対してしている力の大きさです。今回の場合、物体は面に対して平行にしか動いていないため垂直抗力の仕事はゼロ。重力の摩擦のした仕事の和が運動エネルギーの変化となっているのです。

お礼

御返答有難うございます

補足

運動エネルギーの変化=物体にくわえられた外力がした仕事で考えるとD'とA'で運動エネルギーの変化は0なのでD'からA'まで動摩擦力のした仕事は0になりますよね、

でもW[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']はD'からA'までの重力のした仕事と動摩擦力のした仕事の和ですよね、動摩擦力のした仕事が0でも重力のした仕事が0で無かったらW[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']は0にはならないんじゃないんですか？

回答No.2

rnakamra

#1の補足に対して

>変化量は符号を含んだ値だと聞いたので、最初の値から後の値を引いて負の値だったらそれが変化量なのではないのですか？

違う。
#1でもいったが物理学における変化量の定義は
(後の状態の物理量)-(前の状態の物理量)
だ。
符号とか、大きさとか一切関係ない。上の定義が全てだ。
定義に疑いなどもつな。受け入れろ。

お礼

御返答有難うございます

補足

結局W[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']=0となるのは何で分かるんですか？
これってD'からA'までの重力と動摩擦のした仕事の和ですよね、何で和が0になると分かるんですか？

回答No.1

rnakamra

>E[1]-E[2]-W=0は-(D'からA'まで重力のした仕事)+(D'からA'まで動摩擦力のした仕事)ですよね。

違います。
>E[1]-E[2]はD'とA'は共に運動エネルギーは0なので位置エネルギーの変化量ですよね
まずここが違う。
物理で変化量、という場合は必ず
(後の状態の物理量)-(前の状態の物理量)
とします。これを逆にしています。
つまり
E[2]-E[1]
が位置エネルギーの変化量なのです。質問者の式は符号が逆です。
そのため式の符号が一部逆になってしまっているのです。

お礼

御返答有難うございます

補足

変化量は符号を含んだ値だと聞いたので、最初の値から後の値を引いて負の値だったらそれが変化量なのではないのですか？