物理の基本？

質問

物理の基本？

高校生です。最近、「エネルギー保存」と、「力学的エネルギー保存」は全く別物だということを知りました。前者はエネルギーは必ず何かのエネルギーに変換されて総合的（全宇宙空間的）に見るとその量は不変であるということで、後者は保存力のみが働くときに成り立ち、Ｋ.ＥとＰ.Ｅの収支が一定に保たれるということですよね。そこで、思ったのですが。

斜面があったとして、その上を質点が下っていく（物体の初速は０）ときを考えます。ただし斜面下向きを正方向とします。さらにこの斜面は最初（Ａ地点とする）から途中（Ｂ地点とする）までは外力によって斜面下向きに引かれており、Ｂ地点からはその外力を取り除き、代わりに摩擦が働き一番下（Ｃ地点とする）で静止するまでその動摩擦力（速度依存性無し）をうけるものとします。

このとき運動方程式を書くと、Ａ～Ｂの間では、右辺＝（外力）＋（斜面方向重力）ですよね。
さらに、Ｂ～Ｃの間では、右辺＝（斜面方向重力）－（動摩擦力）となりますよね。

Ａ～Ｂはこれを速度との内積をとって積分してそれを全部左辺に移すと、＝一定　という関係式が出てきますよね、そしてＢ～Ｃも同様にすると＝一定という関係式が出てきますよね。（今軌道は直線なので高校の範囲で積分可能なんです。）
これが上で書いた「エネルギー保存」だと思うのですが、今この設定では明らかに「力学的エネルギー」の方は保存しませんよね、非保存力があるので。

よって「エネルギー保存」は成り立つのに「力学的エネルギー保存」は成り立たないということになります。

ですが、力学的エネルギー保存の式は成りたたないにしろ、エネルギー保存の式は保存量となって出てきているわけですから、これを使っていろいろと求めたりできるはずですよね、例えば動摩擦係数とか、速度とか（初期条件とかは適宜あるものとしなければなりませんが）。どうなんでしょうか？それとも、保存量だからといって必ずしも使えるわけではないのでしょうか？分かりにくくてスミマセン、簡単に言ってしまえば「エネルギー保存」と「力学的エネルギー保存」の使い方に注意が要るのかどうかということです。
高三でIIIＣまで終わってます。できるだけわかりやすくしていただけたらうれしいです。　長々とスミマセンでした。

回答No.7

cocacola2010 · ベストアンサー

No5です

＞＞運動の途中経過を考慮しなくても初期状態から最終状態がわかる

というのは力学的エネルギー保存についてでしょうか？

他のエネルギーに変換される場合もです。
例えば、
滝の高さと流量が分かっていれば、滝が滝つぼに突入した時の摩擦によって生じる熱量がポテンシャルエネルギーから求められます。
（流体の摩擦から直接熱量を計算するなんてしたくないですよね。）

まあでも高校生なら系全体のエネルギー保存よりも、ひとつの物体のみに着目して、
#1さんが言ったような外部にした仕事と失ったエネルギーの関係を理解したほうがよっぽど有益ですね。

お礼

なるほど、皆さんとの議論でさらに理解が深まりました。
ありがとうございました！！

回答No.6

hitokotonusi

>外力は保存力ではないと考えてしまうのですが・・・。

外力は系の外部から働く力。ご質問の例の場合は質点一つの系ですから、質点に働く力はすべて外力です。

少し話がそれますが、たとえば、二つの電荷を持つ質点(点電荷)があるとその間にクーロン力が働きます。この二つの点電荷を一つの系と考えるとこのクーロン力が内力。それ以外に重力が働いていれば、重力が外力です。

力が保存力であるかどうかはその力の性質の見に依存するので、内力であるか外力であるかには寄りません。上の点電荷の例では内力も外力も保存力です。

内力と外力というのはこのような使い方をするので、この質点にとって重力も摩擦力も外力です。（斜面が滑らかな床の上に置かれた剛体三角柱であるとすると質点と同時に斜面も移動し、質点と斜面を合わせたものを一つの力学系として扱うことはできます。この場合摩擦力は内力になりますが、重力はやっぱり外力です。摩擦力は内力ですが保存力ではなく、重力は外力ですが保存力です。）

話を元に戻しますと、ANo.3では話を簡単にするために、

＞重力と摩擦力以外の外力は働かない事にします。

という条件を設けました。このためＡ～Ｂの外力は重力と垂直抗力ですが、垂直抗力は仕事をしない（斜面に垂直方向の運動はない）ので除外し重力のみを考えればよく、重力は保存力なのでＡ～Ｂの外力は保存力のみとなります。

回答No.5

cocacola2010

高校生でそれだけわかっていれば大したもんです。
＜「エネルギー保存」と「力学的エネルギー保存」の使い方に注意が要るのかどうか、
といえば、力学的エネルギー以外へ（から）のエネルギー変換があるかどうかに注意して使えばＯＫです。（化学エネルギー、熱エネルギー、電気エネルギーetc）
逆に初期状態のエネルギーと最終状態のエネルギーが一致しなければ、
例えば減少したエネルギーが熱エネルギーに変わったと考えて、物体の温度の上昇を計算したりも出来ます。

保存則では初期状態と最終状態のエネルギーだけから運動の途中経過は分からないことに注意しなければいけませんが、逆に言えば運動の途中経過を考慮しなくても初期状態から最終状態がわかることがメリットです。

摩擦係数などが分かるかどうかは、条件が与えられているかどうか次第です。
例えば斜面の形状（どんな曲面か）など、途中経過を推定できるものがあれば分かります。
斜面が平面、動摩擦係数一定であれば
摩擦によるエネルギー減少＝摩擦力×移動距離
摩擦力＝動摩擦係数×垂直抗力
なので簡単に分かります。

エネルギーを基準にする考え方もあります。（下記ＵＲＬ）
ラグランジェ力学といって大学で解析力学などを履修すれば習う筈です。

参考URL：

http://www.ip.mirai.ne.jp/~murata/pdf/030301.pdf

補足

回答ありがとうございます。

＞＞運動の途中経過を考慮しなくても初期状態から最終状態がわかる

というのは力学的エネルギー保存についてでしょうか？

回答No.4

雪中庵（@psytex）

たとえば、レーザー光線のように位相のそろった光線を、
ハーフミラーなどで分離した上で、また半波長ずらして
同軸上に導けば、干渉して消えます。
さて最初の光線のエネルギーは、どこへ行ったのでしょう？

教科書的な記述は、そのレベルの知性を納得させるだけの
嘘だらけだから（小中学生にはまず(間違っていても)
ニュートン力学を教えるべきだよね？）、いつまでも
まともに取らないように。

回答No.3

hitokotonusi

高三にしては高度な内容のように思いますが・・・・

＞最近、「エネルギー保存」と、「力学的エネルギー保存」は全く別物だということを知りました。

全く別物ではないですよ。「力学的エネルギー保存」は「エネルギー保存」の特例です。
後者の「エネルギー保存」そくは広義のエネルギー保存則とも言われるもので運動エネルギーを

運動エネルギーの差＝その間になされた仕事

と定義したことにより生じるものです。これを、運動エネルギーをK、その間の仕事の総量をWとして

K(B)-K(A) = W

と書く事にします。

保存力の場合は、右辺の仕事が位置エネルギーの差として書くことができるために

K(B)-K(A) = W = -[ V(B) - V(A)]

となり、これを整理する事で

K(B)+V(B) = K(A)+V(A)

という力学的エネルギーの保存則を得ます。

という分けで、保存力であろうがなかろうが、仕事Wさえきちんと求めることができれば、
どんな場合でも使えます。しかし、摩擦力が場所によって変わり、さらに、どの場所で摩擦係数がどんな値を取るかがわからないような場合にはこの仕事は積分では求められません。しかし、運動エネルギーの変化がわかってさえいれば、仕事の総量がどれだけかは導くことができます。これは運動量と力積Iの関係

p(B)-p(A) = I(B,A) = ∫[A->B] Fdt　(p, Fはベクトル)

と同じです。

＞右辺＝（外力）＋（斜面方向重力）ですよね。

細かいことを言いますが、重力も外力です。で、話を簡単にするために、重力と摩擦力以外の外力は働かない事にします。

＞簡単に言ってしまえば「エネルギー保存」と「力学的エネルギー保存」の使い方に注意が要るのかどうかということです。

質問の例の場合では違いがわかりにくいかもしれませんが、

1.　Ａ～Ｂの場合はＢの位置に完全弾性衝突の壁をおいて質点を跳ね返し、Ａの位置に戻す事を、
2.　Ｂ～Ｃの場合はＣの位置に完全弾性衝突の壁をおいて質点を跳ね返し、Ｂの位置に戻す事を、

考えてみてください。1．ならば保存力なので力学的エネルギーは等しい。場所が同じなので位置のエネルギーは当然等しく、運動エネルギーも等しいはずです。2．はどうでしょうか。

＞Ａ～Ｂはこれを速度との内積をとって積分してそれを全部左辺に移すと、＝一定　という関係式が出てきますよね

これは一般的な仕事の定義で、Ａ～ＢでもＣ～Ｄでも成立します。しかし、Ａ～Ｂ間は保存力で力が位置のみの関数なので、この時間の積分を座標の積分に直すことができます。そして、さらに保存力が位置エネルギーの微分で与えられるという関係から積分の結果を位置エネルギーの差で表現できます。

積分の結果が位置エネルギーの差で書けるかどうかが保存力か否かの違いです。

補足

＞＞Ａ～Ｂ間は保存力で

とありますが、これがイマイチよく分かりません。外力は保存力ではないと考えてしまうのですが・・・。

回答No.2

dontakos

難しい事はありません。

エネルギーの一部が、力学的エネルギーです。

これに、動摩擦、粘性摩擦、慣性抵抗力などが働き、それらに力学的エネルギーがそれらのエネルギーに転化されるので、その分の力学的エネルギーが減って当然です。

使い方も何もありません。

動摩擦、粘性摩擦、慣性抵抗力、及び、エントロピー変化などが無い場合は、「運動エネルギーと位置エネルギーのみ」＝力学的エネルギーのみで良いので、それだけでエネルギー計算すれば良いのです。

力学的エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーのみですから、摩擦などで他のエネルギーに力学的エネルギーが散逸したら、その分減るから、力学的エネルギーが保存されないわけで、しかし、エネルギー総量は全く同じだって事です。

貴方が、一万円札と千円札を１０枚ずつ持っていて、半分をドル紙幣に交換して、日本円は減っても、総資産は全く同額です。これと同じです。

ギッブスの自由エネルギーからエントロピー、そして、アインシュタインの真空のエネルギーを学べば色々分かりますから、入門書くらい学ばれると面白いですよ。

回答No.1

yokkun831

ここまでの理解があれば，コワイものなしです。
縷々説明しようと思いましたが，あなたの理解に補足すべきところはほとんどないと思います。

ただ一点，念のための確認です。非保存力の仕事は経路によって変わるために，初め＝終りという形でのエネルギー保存は成立しないことになります。経路が決まってはじめて決定される量は，「保存される」というわけにはいきませんね？　あくまで計算したのは非保存力の仕事であって，それを保存力による位置エネルギーと同等に対応させることはできないのです。非保存力の仕事は，その結果消費されたエネルギー（手で引いたなら食べたものから取り出されたエネルギー）や，生じたエネルギー（進行方向逆向きの摩擦力なら内部エネルギー）と考えることができ，その限定の範囲内で積分の結果はエネルギー保存を示すといってよいでしょう。厳密には，積分によって得られた関係は運動エネルギーと仕事の関係を示す，「エネルギー原理」と呼ばれるものです。

補足

回答ありがとうございます。

＞＞生じたエネルギー（進行方向逆向きの摩擦力なら内部エネルギー）と考えることができ

というのは、斜面と質点の間に働く力は摩擦力という内力だけであるため、これは相対ＫＥ（内部ＫＥ）のみを変化させる。よってＢＣ間での力学的エネルギーの変化分はその摩擦力のした仕事分と一致するということですか？