センター物理 仕事 再再

質問

図のように傾角60°の斜面と傾角3斜面をそれぞれの下端B,Cが同じ高さになるように、なめらかな曲面でつなぐ。
傾角30°の斜面上の端Cからの高さがHの点D'に質量mの小物体を置いて静かに離すと傾角60°の斜面上の端Bからの高さがh'の点A'まで上昇した ただし重力加速度をg、小物体と2つの斜面の間の動摩擦係数を共に√3/6とする。

問 h'はいくらか

解説 D'→C→B→A'の移動の各区間での重力と動摩擦力が小物体にする仕事の和をW[D'→C],W[C→B],W[B→A']としてW[D'→C]=mgH/2,W[C→B]=0,W[B→A']=-7mgh'/6となる。

端D'と端A'で小物体の運動エネルギーは0であるから、仕事と運動エネルギーの変化の関係によりW[D'→C]+W[C→B]+W[B→A']=mgH/2-7mgh'/6=0 よってh'=3H/7となっていたのですが
運動エネルギーの変化=物体にくわえられた外力がした仕事を証明していただいたのですが
その証明方法と言うのが
外力をF(x) (ベクトルです)とすると外力の仕事Wは
W=∫[初め→終わり]F(x)・dx
(dxはベクトル,・は内積の記号)

運動方程式からF(x)=ma (aは加速度ベクトル)であり、積分する変数をxから時刻tに変換するとW=∫[初め→終わり]F(x)・dx=∫[初め→終わり]ma・dx/dt*dt
ここでdx/dt=v (vは速度ベクトル)a=dv/dtですので

W=m∫[初め→終わり]dv/dt・v*dt=m∫[初め→終わり]vdv=(1/2)m{v(終わり)}^2-(1/2)m{v(初め)}^2
となります。

という事だったのですが、F(x)=maの所の加速度は位置によって変わるのでa(x)としないといけないんじゃないですか？ですからdx/dt=vの所もv(x)としないといけないのではないですか？

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

dv/dt　という書き方をしたら、v は基本 t の関数。

ただし物理だといろいろと自由な読み替えを行うので注意。
同じ記号で違う独立変数を使うときもあるので、油断しないように。
まあ。そういう数式を扱うのは大学からですけどね。

もし、x が t の関数だとしても、それを F(x) に代入しては
いけないなんてことも無いし F(x) を時間の関数と比べては
いけないなんてこともない。

時間と空間の関係を表すのが運動方程式なので。

独立変数を式の左右でそろえなければならないなんて
規則は無いです。

お礼

御返答有難うございます

補足

でも何かaはa(x)としておかないと一定の値みたいに見えないですか？別にaをa(x)と書いてもいいんですよね？どっちでもいいと言う事ですか？
証明を書き直すと
外力をF(x) (ベクトルです)とすると外力の仕事Wは
W=∫[初め→終わり]F(x)・dx
(dxはベクトル,・は内積の記号)

運動方程式からF(x)=ma(x) (aは加速度ベクトル)であり、積分する変数をxから時刻tに変換するとW=∫[初め→終わり]F(x)・dx=∫[初め→終わり]ma(x)・dx/dt*dt
ここでdx/dt=v(x) (vは速度ベクトル)a(x)=dv(x)/dtですので

W=m∫[初め→終わり]dv/dt・v(x)*dt=m∫[初め→終わり]v(x)dv=(1/2)m{v(終わり)}^2-(1/2)m{v(初め)}^2

a(x)とv(x)にしました、おかしいところがありましたら教えてください

回答No.15

中村 拓男（@tknakamuri）

ANO3は位置で加速度が決まる
例なんですけど無視しちゃって
ますよね。反例はひとつで
充分なんですが、自説にこだわる
のは何故？

aは時間の関数でも問題はないでしょ？
「いけない」という話はとっくにくずれてます。

お礼

御返答有難うございます

補足

>aは時間の関数でも問題はないでしょ？
はい、むしろその方が変位の関数と見るより自然だと思います。
aはaと書いた時点でa(t)である事は自明なんですよね。

回答No.14

gohtraw

＞試しにaとvをa(t),v(t)にしてみますが、間違っているところがあれば教えてください
だから、定義さえちゃんとしていればどう表記しようが構わないと言っているだろ。

お礼

御返答有難うございます

補足

でも貴方の口ぶりだとaやvは何もつけずにaやvとしておくのが普通なんですよね？同じ加速度一定の力だったらma=Fは分かりますよ、でも時間によって変わるときはma(t)=F(t)とするのが普通のように見えるんですが

回答No.13

gohtraw

＞aだけだったらその時の時間の加速度しか表していないような気がするんですが
「時間の加速度」というのがなんとも意味不明だが、
ａが「その時の加速度」だと何か困るのかな？

お礼

御返答有難うございます

補足

その時間における加速度ですね

回答No.12

gohtraw

＞場所によってFが変わってきて、aも変わるんだからF(x)とするなら
＞aもa(x)とする必要があるんじゃないですか？
別にない。

お礼

御返答有難うございます

補足

試しにaとvをa(t),v(t)にしてみますが、間違っているところがあれば教えてください
W=∫[初め→終わり]F(t)・dx
(dxはベクトル,・は内積の記号)

運動方程式からF(t)=ma(t) (aは加速度ベクトル)であり、積分する変数をxから時刻tに変換するとW=∫[初め→終わり]F(t)・dx=∫[初め→終わり]ma(t)・dx/dt*dt
ここでdx/dt=v(t) (vは速度ベクトル)a(t)=dv(t)/dtですので

W=m∫[初め→終わり]dv(t)/dt・v(t)*dt=m∫[初め→終わり]vdv(t)=(1/2)m{v(終わり)}^2-(1/2)m{v(初め)}^2

回答No.11

gohtraw

＞a(t)やv(t)にしても良い箇所を全部教えてほしいです
別に全部そうしたって構わんし、全部そうしなくたって構わん。
要は加速度や速度をどう表記するかを断ってからそれを
使うのであればどのように表記しようと構わない。ａとａ（ｔ）は
同じものだと宣言してあれば、両者が混在したって間違い
とはいえない。無駄、かつみっともないけど。

お礼

御返答有難うございます

補足

aだけだったらその時の時間の加速度しか表していないような気がするんですが

回答No.10

gohtraw

＞答えを書くときだけは書かなくてもいいかもしれないですけど、
＞置くときにどういう物かを示すためにも買いて置いた方がいいんじゃないですか？
ａとａ（ｘ）が同じものであることを予め断ってそうするならご随意に。
ただそんな面倒なことをする必然性はない。

＞あるxでの加速度というように示せていれば
その目的でａ（ｘ）と表記する必然性がない。
具体的にａとｘの関係を示すほうが余程有益。

＞a=a(x)という認識でいいんですよね？
そう定義したうえでのことなら、やれば？

お礼

御返答有難うございます

補足

a(x)やF(x)よりF(t)やa(t)とするのが自然のようですね、時間で微分するので時間の関数と考えるほうが自然のようです。とするなら証明の式でa(t)やv(t)にしても良い箇所を全部教えてほしいです

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

＞加速度も場所によって力が変わるんだからa(x)としないといけないんじゃないですか

じゃあ例えば重力の例だと

F(↑x)=(0, 0, -g) = ↑a(t) = d^2・↑x/dt^2 (↑はベクトルということにしときます)

2回時間で積分して

(0, 0, -(1/2)gt^2　+ｖ０/t + C) = (x(t), y(t), z(t)) = ↑x(t)

おなじみの運動方程式と解です。何か問題ありますか？

お礼

御返答有難うございます

補足

その式が良く分からないけど、F(x)のFは場所によって変わるんだからaも場所によって変わることを示すためにa(x)とした方が良いのではないですか？って事なのですが、別に表記しなくてもしてもいいって事なんですか？a(x)とするのは間違っていないんですよね？

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

元の質問見てみましたが、rnakamraさんの説明　では、別に F(x) = ma
である必要な無いんですよね。

F(x) は全然証明に使って無いから、Fが F(t)であっても何も変わりません。
力により仕事を受けるとその分運動エネルギーが増えるという
一般論の証明です。

お礼

御返答有難うございます

補足

F(x)というのはD'からA'までのその場所その場所での力という意味ですよね、ですから加速度も場所によって力が変わるんだからa(x)としないといけないんじゃないですか

回答No.7

gohtraw

ん？Ｎｏ６はちょっと変だな。書き直し。

＞でも何かaはa(x)としておかないと一定の値みたいに見えないですか
通常の理解力があれば見えない。それと逆に聞くが、運動している物体
の加速度がその位置によって変化するということは、恐らく時間によっても
変化することになるわけだが、ａ（ｘ，ｔ）と書かなくていいのか？というか、
ｘも時間によって変化するからａ（ｘ（ｔ），ｔ）か？

＞この証明においてaはa(x)と書かなくてもaをxの関数と示していることに
＞なるというのですか
ａ（ｘ）という表記が必要なのではない。
ａとｘの関係を示す式をどこかに書いておけば事足りる。

この証明では速度を時間で微分したものが加速度であるという関係を用いて
ａが消去されているが、このような自明の関係（というか定義だが）は殊更に
明示する必要はない。

また、rnakamraさんの説明では最終的に
∫ｖｄｖ
という形になっているので、これ以降はｖが何の関数であっても関係ない。

お礼

御返答有難うございます

補足

ma=Fの場合ある力Fが働く時の加速度がaという事ですよね、今回の場合場所によってFが変わってきて、aも変わるんだからF(x)とするならaもa(x)とする必要があるんじゃないですか？

回答No.6

gohtraw

＞でも何かaはa(x)としておかないと一定の値みたいに見えないですか
通常の理解力があれば見えない。それと逆に聞くが、運動している物体
の加速度がその位置によって変化するということは、恐らく時間によっても
変化することになるわけだが、ａ（ｘ，ｔ）と書かなくていいのか？

＞この証明においてaはa(x)と書かなくてもaをxの関数と示していることに
＞なるというのですか
というよりも、式の変形や変数の変換によって最終的に
∫ｖｄｖ
という形になっているので、ｖが何の関数であっても関係ない。このように、
最終的に消えてしまうような変数に関しては「加速度をａとする」とだけ
宣言しておけばそれがどのような関数であるかを示すことは必須ではない。

一方、最後まで計算に残るようなものは、例えばａという変数を含んだままで
回答としてもいい場合を除き、どういう関数であるかを示す必要がある。
というか、そうでないとａを消去するための計算ができない。

お礼

御返答有難うございます

補足

時間によってというよりあるxでの加速度というように示せていればある時間での加速度も示していることになるんじゃないですか？
答えを書くときだけは書かなくてもいいかもしれないですけど、置くときにどういう物かを示すためにも買いて置いた方がいいんじゃないですか？a=a(x)という認識でいいんですよね？
v=v(x)も同じ事なんですよね？