電位

質問

つぎのおのおののように与えられたベクトル場V(F)=(Fx,Fy,Fz)の電位を求めよ。
V(F)はベクトルFを表す。

Fx=Ayz,Fy=Azx,Fz=Axy 　Aは定数

電位＝-∫[0→X]Ayzdx - ∫[0→Y]Azxdy - ∫[0→Z]Axydz
=-Axyz-Axyz-Axyz
=-3Axyz

となると思うのですが、参考書の答えは-Axyzです。
なぜですか？どこが間違っているのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund と申します．
大学で物理の研究と教育をやっています．

24143324 さんの間違いはよく見るものです．
原因は
(A) 線積分をよく理解していない．
(B) 積分するときの変数(積分している間に変化する)と積分の端の座標との区別が
あいまい
の２点です．
これに加えて
(C) 電位から電場はどうやっても求めるか
も大丈夫かな，と思います．

あと，下付添字も積も区別なく書いちゃいけません．
Fx でなくて F_x のように書かないと．

V(F) は誤解を招きやすいので(V はしばしば電位に使われるから)
ベクトルは (→F) のように書くことにします．

先に(C)から行きます．
電場 (→F) は電位φから
(1)　　F_x = -(∂φ/∂x)
と求められます．F_y，F_z についても同様．
24143324 さんの φ= -3Axyz から F_x を求めると
(2)　　F_x = 3Ayz
になって，もとの F_x に戻りません．
ですから，(2)が間違っていることは直ちにわかります
(わからなきゃいけない！)．

電位の定義は
(3)　　φ = -∫[S→P] (→F) d(→r)
　　　　　= -∫[S→P]{ F_x dx + F_y dy + F_z dz}
です．
S は電位の基準点(今は原点に取っている)，
P は電位を知りたい点で座標を (X,Y,Z) としておきます．
X,Y,Z は積分している間は変化しません(ここ大事！ x,y,z との区別も注意！)．
S→P は S と P を結ぶ径路でいくらでも選び方はありますが，
静電場については径路によらないので計算しやすい径路を選べばＯＫです．

径路を S から P への直線としましょう．
このとき，x が動くと y や z もそれにつれて動くことを注意しないといけません．
24143324 さんの計算ではそのことが全く抜け落ちていますし
積分途中の変数(x,y,z)と積分の端の座標(X,Y,Z)もごちゃごちゃになっています．

一番間違いがないのは媒介変数表示です．
t が 0 から 1 まで動くとすると，
(4)　　x = Xt，y = Yt，z = Zt
で S から P への直線が表現できます．
(5)　　dx = X dt，dy = Y dt，dz = Z dt
ですから
(6)　　F_x dx = AXYZ t^2 dt
(7)　　F_x dx + F_y dy + F_z dz = 3AXYZ t^2 dt
がすぐにわかります．
したがって
(8)　　φ = -∫[0→1] 3AXYZ t^2 dt = -AXYZ
座標を x,y,z に戻して
(9)　　φ = -Axyz

媒介変数表示にすれば，
径路がどうだとか，x,y,z がどう連動して変化するかなどは
全部媒介変数表示の式が自動的に始末してくれます．

最後に，問題の (→F) がポテンシャルを持つ条件
(10)　　rot (→F) = 0
を満たしていることもチェックしておいてください．

お礼

(6)　　F_x dx = AXYZ t^2 dt
どこからt^2が出てきたんですか？

回答No.4

siegmund

siegmund です．

> (6)　　F_x dx = AXYZ t^2 dt
> どこからt^2が出てきたんですか？

F_x dx = Ayz dx に単に(4)(5)を代入しただけです．

x,y,z (小文字)と X,Y,Z (大文字)の区別は大丈夫でしょうか？

回答No.3

SKJAXN

電位の基準点を点O(0, 0, 0)とし、線積分の経路を点O→点P(X, 0, 0)→点Q(X, Y, 0)→点R(X, Y, Z)の順で実施すると分かり易いものと考えました。
(ア) 点O→Pの経路について、電位差Δφ(O→P)は、
Δφ(O→P)＝－(∫[0→X]Fx*dx＋∫[0→0]Fy*dy＋∫[0→0]Fz*dz)＝－(0＋0＋0)＝0　（∵ この経路ではy＝0、z＝0より、Fx＝0）
(イ) 点P→Qの経路について、電位差Δφ(P→Q)は、
Δφ(P→Q)＝－(∫[X→X]Fx*dx＋∫[0→Y]Fy*dy＋∫[0→0]Fz*dz)＝－(0＋0＋0)＝0　（∵ この経路ではz＝0より、Fy＝0）
(ウ) 点Q→Rの経路について、電位差Δφ(Q→R)は、
Δφ(Q→R)＝－(∫[X→X]Fx*dx＋∫[Y→Y]Fy*dy＋∫[0→Z]Fz*dz)＝－(0＋0＋A*X*Y*Z)＝－A*X*Y*Z
以上より、ベクトル場Vの電位φは、
φ＝Δφ(O→P)＋Δφ(P→Q)＋Δφ(Q→R)＝－A*X*Y*Z
X、Y、Zを戻して、φ＝－A*x*y*z

回答No.1

kamobedanjoh

設問中にある定義［Fx=Ayz,Fy=Azx,Fz=Axy ］を無視したために起きた誤りです。
Ayzはy軸とz軸からなる平面（象限）ですし、Azx Axy に付いても同様です。
3象限を合成して初めて立体のベクトル値になりますが、あなたの計算では、3象限の合成がが立体を表すことに気付かず、Fxを始めから立体空間での合成値として求めてしまっています。
平面空間と立体空間の違いを、頭の中で組み立て直して下さい。