次の関数を積分または変形してください。

質問

f(x)=1/(ax^4+bx^2+c)

求めたいものは
∫f(x)dx=F(x)+C
となるF(x)です。

なお、以下のi, j, kをa, b, cで表現して頂ければ、自分で調べながら積分可能だと思います。
f(x)=1/(ix^2+jx+k)^2

よろしくお願い致します。

回答No.3

info22_

a≠0 と考えられるので 1/a を括り出せば

f(x)=1/(x^4+2a'x^2+b')

のタイプの不定積分を考えればいいでしょう。

いずれにしろ、場合分けが必要になります。
つまり、F(x)が一通りではないです。

1/(x^4+ax^2+b)

これは以下のような異なるタイプがあるため、１つのF(x)にはなりません。
各関数を不定積分してみれば理解できるでしょう。

=1/x^4　⇒　-(1/3)/x^3 + C
=1/{x^2(x^2+1)} ⇒　部分分数分解
=1/(x^2+1)^2
=1/(x^4-1)=1/{(x^2+1)(x^2-1)}=1/{(x^2+1)(x-1)(x+1)} ⇒　部分分数分解
=1/(x^4+4)=1/{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)} ⇒　部分分数分解
=1/{(x^2+1)^2-x^2}=1/{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} ⇒　部分分数分解(同上のタイプ)
=1/{(x^2-1)(x^2-4)}=1/{(x-2)(x-1)(x+1)(x+2) ⇒　部分分数分解
=1/{(x^2+1)(x^2+4)} ⇒　部分分数分解
=1/{(x^2+1)^2+2x^2}=1/{(x^2+2)^2-3}=1/{(x^2+2+√3)(x^2+2-√3)} ⇒　部分分数分解
etc

回答No.2

Knotopolog

質問者さんが，不定積分法の勉強をされているのか，または，
不定積分の結果のみを必要とされているのかが分かりません．

もし，F(x)＝∫dx/(ax^4+bx^2+c) の結果のみを必要とされているのであれば簡単です．

Wolframalpha:
http://www.wolframalpha.com/

で， int 1/(ax^4+bx^2+c) dx と入力して 〓 を押すと，以下の積分結果が得られます．

F(x)＝∫dx/(ax^4+bx^2+c)＝(E/A){[(arctan(Ex/B))/B]－[(arctan(Ex/C))/C]}

A＝√(b^2 －4ac)
B＝√(b－A)
C＝√(b＋A)
E＝(√2)(√a)

なお，不定積分の練習のために，手計算で∫dx/(ax^4+bx^2+c)を求めるのであれば，
焦らず，じっくり時間をかけて部分分数分解をすれば不定積分は求まるでしょう．

回答No.1

Tacosan

とりあえず
f(x)=1/(ax^4+bx^2+c)
を
f(x)=1/(ix^2+jx+k)^2
にするのは無理.

でも, もともと複2次なんだから分母を因数分解するだけでは?