2009年慶應義塾大学の入試問題です。

質問

x,yは3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉を満たしながら動く。
x-yの最大値を求めよ。

真数条件よりx＞0、y＞0

3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1を変形して、3log_2(x)-log_2(y)≦2
log_2(x^3/y)≦2＝log_2(4)
真数の大小関係よりx^3/y≦4、すなわちy≧(1/4)x＾3

log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉を同様の要領で変形して、y≦(1/2)x^2

これは0＜x≦2で満たされ、この領域をy=x-pが通るとき、pが最大値となる場合は、
y=x-pがy＝x(1/4)＾3に、0＜x≦2で接するときである。

y＝(1/4)x＾3で、y'＝(3/4)x＾2より、x＝2/√3で傾きが１となり、接点は(2/√3 , 2/3√3)
y=x-pに代入して、p＝4√3/9
これがxーyの最大値。

手順はこれで正しいでしょうか。
もっといい方法がありましたらご教授ください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>手順はこれで正しいでしょうか。
だいたい良いでしょう。
答えは合っています。

>もっといい方法がありましたらご教授ください。

解答は、省略しすぎな箇所やくどすぎる箇所があったりして多少の減点があるかも知れません。
不等式を満たす点(x,y)の存在領域R={(x,y)|x^3/4≦y≦x^2/2,x>0,y>0}のグラフの概形を描いて,x-y=pが領域Rを通るpの範囲が0≦p≦p(max)であり、p(max)はグラフから
y=x-pがy=x^3/4(0<x<2)で接する条件から,接点の座標(x,y)とp=x-yの最大値p(max)=4(√3)/9を求めるといった内容の説明をした方がいい気がします。

不等式そのものは以下のようにシンプルに解いてもよいですね。
3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉
対数の真数条件から　x>0, y>0
不等式を変形すると
log_2 ((x/2)^3)≦log_2 (y/2)≦log_2 ((x/2)^2)
対数の底2＞1なので対数の大小関係は真数の大小関係と一致するから
(x/2)^3≦y/2≦(x/2)^2
(1/4)x^3≦y≦(1/2)x^2 (x>0, y>0)
と得られ、これを満たす点(x,y)を不等式の解領域として図示して、
それ以降のx-y=pの最大値を求める問題に進めると良いですね。

お礼

なるほど、手順に追われると論述が雑になってしまいますね。
ありがとうございます。

回答No.4

think2nd

No3です、大切な個所をまちがえました、(1)を満たすx,yとして、x=y=0としましたが、x=y=2の間違いです。訂正してお詫びいたします。

回答No.4

think2nd

No3です、大切な個所をまちがえました、(1)を満たすx,yとして、x=y=0としましたが、x=y=2の間違いです。訂正してお詫びいたします。

回答No.3

think2nd

> これは0＜x≦2で満たされ、この領域をy=x-pが通るとき、pが最大値となる場合は、
> y=x-pがy＝x(1/4)＾3に、0＜x≦2で接するときである。

この2行がどうもしっくりいきません。式　y=x-pを傾き1でy切片が-pの直線の方程式と勘違いされていませんか。
x,yは3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉・・(1)を満たしながら動くのですから、x,yは(1)を満たす、互いに独立な、変数たちです。いいかえると(1)を満たす、x,yが存在しさえすればいいということです。たとえばx=Y=0としても(1)が成り立ちます。x-y=k・・・(2)とおくとyはxの従属関数ではありませんからyはxの関数になりません。したがって、あなたの解答手順には、doubtです。

inf・・さんの与式変形を借りますが、
　x^3≦4y≦2x^2　に(2)をy=x-kとして代入して整理すると、
　x^3-4x≦-4k≦2x^2-4x (0<x≦2)
となります。f(x)=x^3-4xのグラフは0<x<2の範囲で 2x^2-4xのグラフより常に下側にありますから-4k(x軸に平行な直線と見ててただいても結構です。)がf(x)の値以上にあれば(1)を満たすx,yが存在します。(←実際グラフを書いてシミュレーションしないとイメージが取れないかも・・なぜってxが存在してもyがたくさんあるからです。)
　すなわち0<x≦2の範囲でf(x)のグラフより-4kが上にあれば十分です。f(x)の最小値が(微分してグラフを書けば)-16/(3√3)ですから、
-16/(3√3)≦-4k(≦0)
　　∴　k≦4/(3√3)
だから　最大値が4√3/9となるのではないでしょうか。大切なことはこの時のx,yの値を明記することです。x-yの最小値を要求していないのがなんとなく理解できますね。
どうももっとエレガントな解法がある気がします。
　Math-travelerさんには、trable-makerになってしまいました。失礼しました。

回答No.2

yyssaa

＞もっといいかどうかわかりませんが、
x-y=kとおいてy=x-kを(1/4)x^3≦y≦(1/2)x^2
に代入し、x＞0の条件でこれを満たすkを計算すると、
図を描かなくても1/2≦k≦4√3/9が得られます。