高校数学の立体の体積の断面図の設定について。

質問

画像の公式は高校数学の問題がこの公式で解けるように断面図を設定する（平均の所で）んですか？
だって、電球のような立体で断面図を一番上か一番下かで取ると画像の公式では明らかに解けませんよね？

回答No.1

oze4hN6x · ベストアンサー

おそらく図の意味を勘違いされているのでしょうね。

断面積 S(x) は x の関数であることに注目して下さい。S(x)はあるxで立体を切ったときの断面積です。xが変われば断面積 S(x) も変わります。図の黄色い平面を左右に(a<=x<=bの範囲で)動かすと、それに応じて断面積 S(x) も変化するのはイメージできますか?

断面積 S(x) に微小な厚さ dx をかけた物は、xの位置での立体の薄ーいスライスの体積に相当します。x を a から b まで変化させると、S(x)の変化に応じてこの薄ーいスライス体積も変わりますね。それらのスライスの体積を全部足し合わせると、求める立体の体積になります。

この薄いスライスの体積の足し合わせを数式で表現したのが立体の体積の公式です。

お礼

ありがとうございます(^^♪
この公式って、上手いこといっているんですね～(^^ゞ

回答No.2

spring135

S(x)dxが図形を輪切りにしたスライスの体積ということがわかりますか。

これをx=aからx=bまで足し合わせたというのが

V=∫(a~b)S(x)dx

の意味で徳利のような図形の体積になります。

たとえばこの図形がx軸を中心とする回転体と仮定してみると

S(x)=πy^2

といえます。yは上向きにとった座標の値で、図形の尾根伝いの高さで、

y=f(x)

のように書けます。これが断面Sにおける半径になっているわけです。

従って、

v=π∫(a~b)f(x)^2dx

となります。

これが近々出てくる回転体の体積の公式です。

お礼

ありがとうございます(^^♪
回転体として見るとスグ分かりますね(^^ゞ