高校数学、立体図形

質問

図（左上）のように、半径３の円柱の底面の円周上に点を取り、三角形ABC、三角形DEFがともに正三角形で、8面体ABCDEFが正8面体となるとき、この円柱の高さは？
（問題集の解答）
図形を上から見ると、図3のようになる。（Oは上底面の円の中心）
ふと線部は正6角形で、その1辺の長さはBD(=OB)=3((1)）。また、正8面体の1辺の長さはAB=３√３((2)）図４において、BD`=(1)、BD=(2)より、求める円柱の高さはDD`=√（(1)＾２－(2)＾２）＝３√２
（疑問）
（１）まず、図3の正6角形についてです。
上から見た図(図3）を作成する際に、上面の正３角形を書き、そこからAD,BD、BE,CE、CF、AFを書きます側面は全て正3角形ですから、ふと線部分は正6角形になるという考え方でよいのでしょうか？（自己流だといけないので、確認です）
（２）図３と図4について
図4ではDの真上にD`が来ております。そして、図3のBDというのは図4のBD`の長さです。
最初Dの真上にD`が来るという問題集の記述になぜなのかととまどいましたが、この２つの事実は上から見るというのは自分の目の方向へ正射影しているから（表現が稚拙です、お許しください）であり、図４のBD‘の長さが図３のBDに対応するのはそのため、また、Dの真上にD`が来るのは上のスクリーンにそのままうつるからという理由でしょうか？
（３）
（２）の一般化についてですが、一般にある方向から立体を見るということはどういうことなのでしょうか？（上手く自分で一般化できないので、助けてください）
特に、私は長さの対応というのを毎回といってよいほど間違えるので。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

No.3です。

ANo.3の補足について

>図３のBDと図４のBD`の対応は図3が正投射図であることから上底面をスクリーンとして辺BDを正射影したものが辺BD`である
同様に、Dの真上にD`が来るのも上底面をスクリーンとすればよいという考えで合っていますか?

その考えで合っていると思います。

お礼

ありがとうございました。頑張ります。

回答No.3

info222_

（問題集の解答）が間違っていませんか?

誤：求める円柱の高さはDD`=√（(1)＾２－(2)＾２）＝３√２
正：求める円柱の高さはDD`=√（(2)＾２－(1)＾２）＝３√２

（疑問）
[１]
与えられた条件：
8面体ABCDEFが正8面体であること。
⇒対称性や正投影（正射影）の考え方を使う。
⇒正投影図（平面図）が一辺の長さ３(=円柱の半径)の正6角形であることを導びく。

[2]
[1]の正投影の考え方（正射影の考え方）を正8面体ABCDEFに適用して導けばよい。

[3]
まず正投影や正射影の定義を復習した上で、考えるといいでしょう。
正射影：
参考URL
ttp://www.weblio.jp/content/正射影

正投影：
参考URL
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/投影図

お礼

ありがとうございました。頑張ります。

補足

図３のBDと図４のBD`の対応は図3が正投射図であることから上底面をスクリーンとして辺BDを正射影したものが辺BD`である
同様に、Dの真上にD`が来るのも上底面をスクリーンとすればよいという考えで合っていますか?

回答No.2

Tacosan

D' をそうおいたなら, 「Dの真上にD`が来る」のは「ふと線部分は正6角形になる」ことからほぼ自明だね.

んで「図４のBD‘の長さが図３のBDに対応する」の
・「図４」ってどれ?
・「図４のBD‘の長さ」 (これは「長さ」だ) が「図３のBD」 (これはもちろん辺) に「対応する」ってどういうこと?

お礼

ありがとうございました。頑張ります。

補足

図3は立体を上から見た図です。図4は本題の立体の一部分が書かれている図です。
図4のBD`の長さ＝図3のBDの長さという意味です。（言葉足らずでした、すみません）
この長さの対応があるのはなぜか？というのが主題です。

回答No.1

Tacosan

(1) 何とも言いにくいけど正確には
そ～いう方向から見ているから
とすべきかな. 「側面が正三角形である」という条件が直接影響しないというのは, 実際に円柱の高さを変えてみればわかる.
(2) 問題文に「D'」なんてものは現れていないので, どこかで D' を定義する必要がある. どこでどのように定義していますか?

お礼

ありがとうございました。頑張ります。

補足

（２）解答内では、上底面の正三角形の辺ABにOから引いた垂線と円との交点をD`とすると定義すると思います。