私が解いてみた、線形空間の問題を確認してください

質問

問題は、
R⁴のベクトル、
|1 |
|3 |=a1
|2 |
|-4|

|7 |
|-1|=a2
|4 |
|0 |

|1 |
|0 |=a3
|-2|
|3 |

|0 |
|5 |=a4
|-3|
|0 |

について、
(1)1次独立なベクトルの最大個数rを求めなさい。
(2)r個の一次独立なベクトルを求め、他のベクトルをこれらの一次結合で書きなさい

という問題です。

私が解いてみた答えなのですが、
(1)
まず行列(a1,a2,a3,a4)を作り、
1 7 1 0
3 -1 0 5
2 4 -2 -3
-4 0 3 0
とし、これを行基本変形して、
1 7 1 0
0 -2 2 5
0 0 1 2
0 0 0 0
となるので、0でない行の個数は3なので答えは3。

(2)
前問の
1 7 1 0
0 -2 2 5
0 0 1 2
0 0 0 0
をさらに行基本変形すると、
1 0 0 3/2
0 1 0 -1/2
0 0 1 2
0 0 0 0
となる。
よって答えは、
一次独立なベクトルはa1,a2,a3
他のベクトルはa4=(3/2)a1-(1/2)a2+2a3

と解いたのですが、答えはこれであっているでしょうか？
確認をお願いいたします。
もし間違っていたら、正しい解き方を教えて下さい
お願いします

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞同じことですが、行列は書き難いので
↑a1=(1,3,2,-4)、↑a2=(7,-1,4,0)、↑a3=(1,0,-2,3)、↑a4=(0,5,-3,0)
と書いて
(1)1次独立なベクトルの最大個数rを求めなさい。
＞p↑a1+q↑a2+r↑a3=(p+7q+r,3p-q,2p+4q-2r,-4p+3r)=0
を満たす定数p,q.rを求めると
q=3p、p+7q+r=p+21p+r=22p+r=0、r=-22p、-4p+3r=-4p-66p=-70p=0、
p=0、q=0、r=0。
以上からp↑a1+q↑a2+r↑a3=0ならp=q=r=0なので、
↑a1,↑a2,↑a3の組は一次独立である。
p↑a1+q↑a2+r↑a3+s↑a4=(p+7q+r,3p-q+5s,2p+4q-2r-3s,-4p+3r)=0
を満たす定数p,q,r,sを求めると
3r=4p、r=(4/3)p、p+7q+r=p+7q+(4/3)p=(7/3)p+7q=0、q=-(1/3)p
3p-q+5s=3p+(1/3)P+5s=(10/3)p+5s=0、s=-(2/3)p
2p+4q-2r-3s=2p-(4/3)p-(8/3)p+2p
=(6/3)p-(4/3)p-(8/3)p+(6/3)p=(6-4-8+6)p/3=0p/3=0はp≠0で成り立つので、
↑a1,↑a2,↑a3,↑a4の組は一次従属である。
以上から1次独立なベクトルの最大個数r=3・・・答
(2)r個の一次独立なベクトルを求め、他のベクトルをこれらの一次結合で書きなさい
＞(1)でp=3とすると、q=-(1/3)p=-1、r=(4/3)p=4、s=-(2/3)p=-2だから
p↑a1+q↑a2+r↑a3+s↑a4=3↑a1-↑a2+4↑a3-2↑a4=0
よって
↑a1=(1/3)↑a2-(4/3)↑a3+(2/3)↑a4
↑a2=3↑a1+4↑a3-2↑a4
↑a3=-(3/4)↑a1+(1/4)↑a2+(1/2)↑a4
↑a4=(3/2)↑a1-(1/2)↑a2+2↑a3

お礼

なるほど、こういう方法もあるんですね。
ありがとうございます