a｛e^f(x)｝’=e^f(x)・f’（ｘ）です

質問

が、この右辺の積分
∫e^f(x)・f’（ｘ）ｄｘはf’（ｘ）∫e^f(x)ｄｘ＝ｆ’（ｘ）・（1/f(’x)）・（e^f(x)）+C＝（e^f(x)）+Cと元通りになるんですか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

aは不要

y=e^f(x)の微分は対数微分を行う.

両辺の対数をとって

logy=f(x)

両辺を微分して

d[logy]/dx=y'/y=f'(x)

よって

y'=d[e^f(x)]/dx=f'(x)y=f'(x)e^f(x)

この積分は

y=∫y'dx=∫f'(x)e^f(x)dx=∫e^f(x)f'(x)dx=∫e^f(x)[df(x)/dx]dx

=∫e^f(x)df(x)=∫e^zdz=e^z+C=e^f(x)+c (z=f(x))

f(x)=zとしてｚの積分に還元する所は置換積分の手法に従っている。

お礼

ありがとうございます。大体理解しました。
困りました＞＜
｛e^f(x)｝’=e^f(x)・f’（ｘ）ですが、
∫e^f(x)・f'(x) dxにて
~となるから
＝（e^f(x)）+C
の～となるからの部分に何が入るんですか＞＜？

回答No.3

Tacosan

どうして「全て微分・積分で理由付けるという事が出来るという事ではないんですね」につながるのかさっぱりわからん.

逆に質問だけど, では
∫x dx にて
「～」となるから
= x^2/2 + C
という文章を書くときに, あなたは「～」の部分になんと書きますか?

お礼

ありがとうございます(^^♪
確かにこの場合、~となるからには何も入りませんね。
微積は互いに元に戻る性質があるんですね。

回答No.2

Tacosan

何も入れなくていい.

お礼

ありがとうございます。
そうですか＞＜
全て微分・積分で理由付けるという事が出来るという事ではないんですね。
｛e^f(x)｝’=e^f(x)・f’（ｘ）＝（e^f(x)）+C
を仕方なく覚えておきます。