【積分】1/{e^x+e^(-1)}が分りません

質問

1/{e^x+e^(-1)}を積分するとarctan(e^x)となるはずなのですが
方法が分りません。
=In e^x/(e^x+1)dxにしてみたりもしましたが出来そうにありません。
どなたか教えていただけませんか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

＞＞＞すみませんでした。(-1)ではなく(-x)_です。

あー、やはりそうでしたか。
３０分ぐらい格闘したのにできなかったもので、おやっと思っていました。

与式　＝　∫1/{e^x+e^(-x)}ｄｘ　＝　∫ｅ^x／｛　(ｅ^x)^2　＋　１ ｝ｄｘ

-------------------------
ここで、ｙ　＝　ｅ^x　と置けば、
ｄｙ　＝　ｅ^xｄｘ　＝　ｙｄｘ　なので、ｄｘ＝ｄｙ／ｙ
-------------------------

つづき
与式　＝　∫ｙ／（ｙ^2　＋　１）・ｄｙ／ｙ
　＝　∫１／（ｙ^2　＋　１）・ｄｙ

-------------------------
ここで、ｙ＝tanｔ　と置けば、
ｄｙ　＝　ｄｔ／（cosｔ）^2
であり、また、
分母は、
ｙ^2　＋　１　＝　（tanｔ）^2　＋　１
　＝　（sinｔ／cosｔ）^2　＋　（cosｔ／cosｔ）^2
　＝　１／（cosｔ）^2
-------------------------

つづき
与式　＝　∫１／（１／（cosｔ）^2）・ｄｔ／（cosｔ）^2
　＝　∫（cosｔ）^2・ｄｔ／（cosｔ）^2
　＝　∫ｄｔ
　＝　ｔ　＋　Ｃｏｎｓｔ．
　＝　arctanｙ　＋　Ｃｏｎｓｔ．
　＝　arctan（ｅ^x）　＋　Ｃｏｎｓｔ．

合いました。

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。
おかげで出来るようになりそうです。

回答No.4

owata-www

＃２ですが

＃１の補足欄の質問者の式変形も間違っていますよ
正しくは
In e^x/(e^“2x”+1)dx

です

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

owata-www

どちらにしても
In 1/{e^x+e^(-1)}≠In e^x/(e^x+1)dx
ですよ
In 1/{e^x+e^(-1)}＝In e^x/(e^2x+1)dx

e^x=tとおけば
In e^x/(e^2x+1)dx＝In (t)'/(t^2+1)dx
であとは1/t^2+1の積分がわかれば解けます

補足

すみません。
訂正がありました。

回答No.1

8686party

私の間違いかもしれませんが、
どうやってそう変形したのでしょうか？
In e^x/(e^x+1)dxになりませんでした。

お礼

すみませんでした。
(-1)ではなく(-x)_です。

1/{e^x+e^(-x)}を積分するとarctan(e^x)となるはずなのですが
方法が分りません。
=In e^x/(e^x+1)dxにしてみたりもしましたが出来そうにありません。
どなたか教えていただけませんか？

の間違いです。
ありがとうございました。