(1)任意の定数aに対し、e^x>=e^a+(x-a)e^a が成り立

質問

(1)任意の定数aに対し、e^x>=e^a+(x-a)e^a が成り立つことを示せ。
　これは解決。
(2)∫[0->1]e^(sinπx)dx>=e^(2/π)を示せ。
　どうやっても不等号の向きが逆になってしまいます。

(1)の式で、xをsinπxにして、e^sinπx>=e^a+(sinπx-a)e^a　が成り立つ。
よって、 ∫[0->1]e^sinπxdx>=∫[0->1]e^a+(sinπx-a)e^adx
右辺を計算するとe^a(1-a+2/π)でこれは、(1)より=<e^(2/π)となり、不等号の向きが
逆だと話がうまいのであるが・・・。どこが間違っているのでしょうか。よろしく
お願いします。

回答No.2

noname#121794 · ベストアンサー

#No1です。
計算間違いは言いすぎだった。君は計算は間違っていない。
先ほどのように示せばよいわけだが、どうやら君が心配しているのは
(1)からe^a(1-a+2/π)≦e^(2/π)
で悩んでいるが、これは十分合っている。ただ(2)の不等式を示すにはこのようにしては示すことが不可能であるのだ。

例えばa≦b
を示すのに　　条件c≦bだから
計算するとc≦aになることも十分ありうる。これでは
a,bの大小関係が分からない。つまりa≦bであるかもしれないが分からないものなんだよ。
だからこれでは不等式を示すのは不可能である。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
おっしゃる通り、
例えばa≦b
を示すのに　　条件c≦bだから
計算するとc≦aになることも十分ありうる。
で、c≦aが、c>=aとなるはずと思い込んでいました。
もう一つは、aに2/πを代入するのは、気づいてませんでした。

回答No.1

noname#121794

君の計算が間違っている。
(1)よりaは任意なのでa=2/πとすると
∫[0->1]e^a+(sinπx-a)e^adx
＝e^a(1-a)-{[(e^acosπx)/π]|(x=1)-(e^acosπx)/π]|(x=0)}
＝e^a(2/π＋1-a)
＝e^(2/π)
よって
∫[0->1]e^sinπxdx>=∫[0->1]e^a+(sinπx-a)e^adx＝e^(2/π)