∫｛f(x)g(x)｝’dx⇔ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）

質問

は成り立ちますか？
（⇔同値）

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

#2です。

>∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)も結局成り立つんですか？

　それについては、先の回答での、

>　∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)+C（Cはある定数）
>
>としておいたほうがよい、といったことになります。

ということになります。Cは積分定数です。

　積分定数を0とする、といった前提条件を付け加えて良いならば、∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)でいいんですが、数学ではできるだけ広い範囲で成り立つようにしておくのが通例ですので、C=0という特殊な条件ではなく、C≠0の場合も含めて書いておくことが多いです。

　∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)では絶対にいけない、ということはないのですが、特に理由がなければ、積分定数を付けておいたほうがいいでしょう。逆に、積分定数が不要になる説明になるなら（不定積分の公式を定積分にして使う場合等）、積分定数を0とし、省略してしまっても問題ありません。

お礼

ありがとうございますっ！
積分定数はそんな概念なんですね(*^^*)

回答No.2

noname#212313

成り立たないですね。積分定数を含めて、

　∫｛f(x)g(x)｝’dx⇔f(ｘ)g(ｘ)+C（Cはある定数）

とでもすれば、解釈次第ですがなんとか大丈夫でしょう。

　解釈次第というのは「⇔」の使い方によるものです。同値、つまり必要十分条件であるということなんですが、同値の左右は命題でなければなりません。∫｛f(x)g(x)｝’dxは｛f(x)g(x)｝’の不定積分を表す式ですが、それだけでは命題とはなりません（例えば、仮定を「∫｛f(x)g(x)｝’dxならば」としても、仮定の真偽の判定ができませんよね）。それが何と等しいか、などを言わなければいけないわけです。

　お示しのことを言いたいのなら、例えば等号を使って、

　∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)

などとするのが普通です。それに対しては、

　∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)+C（Cはある定数）

としておいたほうがよい、といったことになります。

お礼

ありがとうございますっ！
確かに命題にはなりませんね・・(*_*)
∫｛f(x)g(x)｝’dx⇔f(ｘ)g(ｘ)+C（Cはある定数）は成り立つんですね。
教材では積分定数：C無しで
∫｛f(x)g(x)｝’dx⇒f(ｘ)g(ｘ)
となっていたんですが、どういうことでしょうか？

補足

∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)も結局成り立つんですか？

回答No.1

spring135

何もf(x)g(x)などとしなくても

関数F(x)について

∫F'(x)dx=∫[dF(x)/dx]dx=F(x)+c

は積分の定義みたいなものでしょう。

お礼

ありがとうございますっ！
教材では積分定数：C無しで
∫｛f(x)g(x)｝’dx⇒f(ｘ)g(ｘ)
となっていたんですが、どういうことでしょうか？