公式d(g(x)*f(x))/dx=f(x)*dg(x)/dx+g(x)*df(x)/dxに関する初歩的質問

質問

この公式は私のような人間には実に深遠な印象を与えますが、いまf(x)をx,g(x)をx^2として、y=x^3を考えてみるとdy/dx=x*2x+x^2*xが3x^2となって、初心者でも計算できる公式になります。このように初心者が簡単な例で、難しい公式の正しさを納得できますが、このような納得の仕方と正当な数学学習との接点はどこかにあるのでしょうか。以前にも似た質問をさせていただきましたが、演繹と帰納との関係でもあるのかとも思い、再度質問させていただきました。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

Ａ）公式d(g(x)*f(x))/dx=f(x)*dg(x)/dx+g(x)*df(x)/dx
から
Ｃ）（ｘ^3）’＝　３ｘ^2
を導くのと、

Ｂ）公式（ｘ^n）’＝　ｎｘ^(n-1)
から
Ｃ）（ｘ^3）’＝　３ｘ^2
を導くのとで、
同じ結果が得られたということですよね。

つまり、
Ａ→Ｃ　（ＣはＡからの帰納）
と
Ｂ→Ｃ　（ＣはＢからの帰納）
は、
「それぞれ正しい」ということです。

言い換えれば、
ＣはＡの十分条件であり、Ｂの十分条件でもあるということです。
あるいは、
ＡはＣの必要条件であり、ＢもＣの必要条件であるということです。

お礼

ご教示ありがとうございます。必要条件から十分条件までの道のりというか変化というところが難しいことなおでしょうか。勉強してみたいと思います。

回答No.2

Sin0

確かに一部の事例で成り立つことを一般的に推し広めることはあります。しかしx^3でその公式が成り立つことが証明されただけで、一般的な関数では、その正しさは分かりませんよね。たとえどんな具体的な関数で成り立っても。

　数学の究極を言えば、定理・公式に意味はなく、定義から証明する過程の論理思考こそが数学です。なにかのきっかけを掴むことはできるかもしれませんが、そういう納得を続けるといずれ本来の数学は曇るでしょうね。それにその納得は数学を良く理解した者になら有用なことはときにあります。しかし数学をよく掴んでいない者にはあまり意味を成さない考え方です。
　だからそこに接点は全くないと思います、特に正当な数学の学習においては。

お礼

ご教示を感謝いたします。私の印象ではx^3の例は実は表題の公式の一例にすぎないということがお釈迦様の手のひらの上の孫悟空のような感じがするわけです。それがわかるだけで感激するのですが・・・