高校数学 漸化式

質問

次のa[n]の値を求めよ
a[1]＝a[2]＝1, a[n+2]＝a[n]＋n (n≧1)

a[n+2]＝a[n]＋nの両辺にΣを取って
Σ[k=1→n](a[k+2]-a[k])=Σ[k=1→n]k
a[n+1]+a[n+2]-a[1]-a[2]=n(n+1)/2
a[n+1]+a[n+2]=n(n+1)/2+2
a[n+1]+a[n+2]=(n^2+n+4)/2
ここから分からないです、ここまでも間違ってそうですが

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

>ここまでも間違ってそうですが
単に、
nの奇数、偶数で場合わけするだけで良いかと思います。

a[n+2]＝a[n]＋n (n≧1)
=a[n-2]+(n-2)+n

n=偶数のとき
a[n+2]=a[n-4]+(n-4)+(n-2)+n
=a[n-6]+(n-6)+(n-4)+(n-2)+n
　…
=a[2]+2+4+…+n
=1+2{1+2+…+(n/2)}
=1+(n/2)(1+(n/2))
=1+(1/2)n+(1/4)n^2
a[n]=1+(1/2)(n-2)+(1/4)(n-2)^2
=1-(1/2)n+(1/4)n^2 　（n≧2,n=2,4,6,…）

n=奇数のとき
a[n+2]=a[n-4]+(n-4)+(n-2)+n
　…
=a[1]+1+3+5+…+n
=1+((n+1)/2)・(1+n)/2
=1+(1/4)(1+n)^2

a[n]=1+(1/4)(n-1)^2
=(5/4)-(1/2)n+(1/4)n^2　(n≧1,n=1,3,5,…)

お礼

御返答有難うございます

補足

何で偶数と奇数で分ける必要があるんですか？

回答No.7

yyssaa

有難うございます、何で偶数と奇数で分ける必要があるんですか？

＞偶数と奇数でa[n]が異なるからです。
偶数のときを計算してみれば分かります。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございます

回答No.6

info222_

No.4です。

ANo.4の補足質問の回答

>何で偶数と奇数で分ける必要があるんですか？
ANo.4の解答を見ていただけばわかると思いますがね。

漸化式の添え字が1つ飛んでいることに気が付きませんか？
漸化式を書き下していくと
nが偶数だと偶数項だけで書き下ろすことになり、
nが奇数だと奇数項だけで書き下ろすことになって
書き下ろした結果の式がa[n]のnの偶奇によって異なってくるからです。
解答の途中計算を見ればわかりませんか？

なお、あなたが導いた
>a[n+1]+a[n+2]=(n^2+n+4)/2
を使って色々試行しても、残念ながら元の式
a[n+2]＝a[n]＋n
が得られるだけです。

お礼

御返答有難うございます

補足

なるほど、有難うございます

回答No.5

naniwacchi

場合分けしてしまえば、階差数列で計算できるのでは？
適当に「ありがとうございます」とお礼を入れるより、お願いしたいことはキチンとお願いすべきかと。特に#1さんに対して

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、貴方も是非お答えください

回答No.3

noname#201241

#1だけど
> 最後までやってみて下さい
という補足は一体何？

最後までやるのはキミだよ。
それが人に教えてもらう人間の態度かね？

お礼

御返答有難うございます

補足

あれだけ、言われても分からないからですよ

回答No.2

yyssaa

＞n=2m-1(m=1,2,3,...)のとき
a[2m-1]=a[2m-3]+2m-3
a[2m-3]=a[2m-5]+2m-5
・・・・・・・・・・・・
a[5]=a[3]+3
a[3]=a[1]+1
辺々加えて
a[2m-1]=a[1]+2m-3+2m-5+...+{2m-(2m-1)}
=a[1]+2m(m-1)-{3+5+,,,,+(2m-1)}
=1+(n+1)(n-1)/2-(n-1)(n+3)/4
={4+2(n+1)(n-1)-(n-1)(n+3)}/4
=(n^2-2n+5)/4
よってnが奇数のときa[n]=(n^2-2n+5)/4
nが偶数のときも同様に計算すればよい。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、何で偶数と奇数で分ける必要があるんですか？

回答No.1

noname#201241

nが偶数か奇数かで分けて考える。

お礼

御返答有難うございます

補足

最後までやってみて下さい