数列(漸化式)

質問

正の数からなる数列{a[n]}が、次の条件A,Bを満たすとき
Σ[k＝1,n]a[k]の値を求めよ。
A　a[1]＝1,
B log a[n]-log a[n-1]＝log(n-1)-log(n+1) (n≧2)

という問題です。底のeは省略し、アルファベットが重なる場合はスペースをあけています。

log{a[n]/a[n-1]}＝log{(n-1)/(n+1)}
∴　a[n]/a[n-1]＝(n-1)/(n+1)
a[n-1](n-1)＝a[n](n+1)
両辺を(n+1)(n-1)で割ると
a[n-1]/(n+1)＝a[n]/(n-1)

で止まりました。和を出すためにはまずa[n]が必要なので何度かやって
みましたが、a[n]に辿りつけません。
どなたか教えてください。
ちなみに京都大学の入試問題です。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

あるいは、ここまで変形しなくても
log a[n]-log a[n-1]＝{log(n-1)-log(n)}+{log(n)-log(n+1)}
とlog(n)を挿入して、2からnまで足してやれば、
log a[n]-log a[1]＝log 1-log n+log 2-log(n+1)
log a[n]=log(2/(n(n+1))
a[n]=2/n(n+1)=2/n-2/(n+1)
となって、a[n]の和も簡単に計算できる。
Σ[k＝1,n]a[k]=2-2/(n+1)
（答えあってる？）

ともかく、差が２離れているときは、差が１になるようなものを
挿入するというアイデア。

お礼

回答ありがとうございます。
変形しなくても良いんですね。
対数を見ると何も考えず、対数の性質を使って方程式に持ち込んでしまいます。これからは方針を立ててから変形をするかどうかを決めたいと思います。

回答No.2

zk43

a[n-1](n-1)＝a[n](n+1)
の両辺にnをかけると、
a[n-1](n-1)n＝a[n]n(n+1)
となって、nが１つずれた形になるので、a[n]がでるのでは？

お礼

回答ありがとうござます。
・・・私にはこの式から求められそうにありません。

回答No.1

pocopeco

a[n]/a[n-1]＝(n-1)/(n+1)
を利用して、
a2=a1*1/3
a3=a2*2/4=a1*1*2/(3*4)
と順番にやっていくと、
an=a1*(n-1)!/(n+1)!=a1/(n(n+1))
という法則に気づきませんか？

an=a1*(1/n-1/(n+1))
なので、1～nまで足していくと、
a1*(1-1/(n+1))=a1*n/(n+1)

お礼

回答ありがとうございました。
今までの問題は式変形だけで何とかなったので、類推することは
ありませんでした。行き詰ったら、順次代入して類推したいと思います。