漸化式についてしつもん

質問

nを２以上の整数として、n個の０ではない実数a（1）,a（2）,,,a（n）が次の２条件を満たしている

条件１）a（k+1）=(a（1）+a（k）)/(1-a（1）a（k）) (k=1,2,,,n-1)
条件２）a（1）+a（n）=0

で、a（2）+a（n）-1=0を示すことはできたのですが、a（3）+a（n）-2を示したいです。
一応できたのですが、何かうまく示す方法はありますか

数列aの第n項をa(n)と表しています。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

n=2
a(1)=√3
a(2)=-√3
とすると
条件1)(a(1)+a(1))/(1-a(1)a(1))=2√3/(1-3)=-√3=a(2)
条件2)a(1)+a(2)=0
を満たすが、
a(2)+a(n)-1=-2√3-1≠0

回答No.4

ramayana

ご質問への回答としては、ANo.3さんにより反例が示されているので、それで終わりですが、一般論を補足します。

条件１）の漸化式は、一般項を具体的に表すことができて、

　　[1]　a(k) = -i ( (-w+i)^k - (w+i)^k) / ((-w+i)^k + (w+i)^k)

となります（計算方法は後述）。ここで、w=a(1)であり、iは、-1の平方根です。

条件２）により初項wに関する方程式

　　w - i ( (-w+i)^n - (w+i)^n) / ((-w+i)^n + (w+i)^n) = 0

が得られます。この方程式は、簡単に解けて

　　[2] w = i(1-λ) / (1+λ)
　　 λは、1のn+1乗根であって、1又は-1以外のもの

となります。したがって、条件１）と条件２）を満たす数列は、nが奇数か偶数かにより、n-1種類ないしn種類あります。

以上により数列が具体的に分かりましたから、a(2)+a(n) = a(2)-a(1)やa(3)+a(n) = a(3)-a(1)の値は、単純計算で求まります。

（[1]式の求め方）

　　a(k) = b(k)/c(k)

と置けば、条件１）は

　　b(k+1)/c(k +1) = ((b(k) + wc(k)) / (-wb(k) + c(k))

と表現できます。したがって、

　　b(k+1) = b(k) + wc(k)
　　c(k+1) = -wb(k) + c(k)

ならば、a(k)が条件１）を満たします。

行列で表現すれば、

　　A(k+1) = M×A(k)

となります。A(k)は、b(k)とc(k)を縦に並べた列ベクトルで、Mは、第１行が(1, w)、第２行が(-w, 1)の行列です。よって、

　　A(k) = M^(k-1)×A(1)

となります。A(1)は、wと1を縦に並べた列ベクトルです。また、Mの固有値が1+iwと1-iwであることを使って、M^(k-1)をwの式で具体的に表すことができます。

回答No.2

Tacosan

「a（3）+a（n）-2」というのは単なる式であって「示すべき何か」ではない.
さらに, そもそも a(3) が定義されていない可能性すらある.
でも, a（2）+a（n）-1=0 をどうやって示したんだろう. 非常に疑問.

回答No.1

longsu

少々らんぼうですが、
a1=tan x
というのはどうでしょう