数1 図形問題の解答お願いします H23.06

質問

下記が問題文です。【1】～【5】が問題箇所です。
出来れば問題の解答の解説も付けて頂けると嬉しいです。
*図は画像を参照してください。

図の四角形 ABCD は円に内接し、AB=2、∠ABC=60°
∠ACB=45°、∠BAD=105°である。

(1) 対角線 AC の長さは、AC=【1】である。

(2) AD=【2】、CD=【3】、BC=【4】である。

(3) 四角形 ABCD の面積は、【5】である。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1) 対角線 AC の長さは、AC=【1】である。
＞△ABCでBC=ABcos∠ABC+ACcos∠ACB=ABcos60°+ACcos45°
=2(1/2)+AC/√2=1+AC/√2・・・・・(ア)
△ABCに余弦定理を適用してAC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos∠ABC
=4+BC^2-4BCcos60°=4+BC^2-4BC*(1/2)=4+BC^2-2BC・・・・・(イ)
(イ)に(ア)を代入すると、
AC^2=4+BC^2-2BC=4+(1+AC/√2)^2-2(1+AC/√2)
=4+1+√2AC+(1/2)AC^2-2-√2AC=3+(1/2)AC^2から(1/2)AC^2=3、
AC^2=6、AC=√6・・・答【1】
(2) AD=【2】、CD=【3】、BC=【4】である。
＞円周角のABDに定理より、∠ADB=∠ACB=45°。
よって、三角形ABDにおいて∠ABD=180°-105°-45°=30°だから
BDは∠ABCの二等分線であり、∠ABD=∠CBD=30°、円周角の定理
により、∠ACD=∠ABD=30°、∠CAD=∠CBD=30°となるので、
△ACDは底角が30°、頂角120°の二等辺三角形になり、
ADcos∠CAD=(1/2)ACからAD=(1/2)AC/cos30°=(1/2)√6/(√3/2)=√2、
AD=√2・・・答【2】
CD=AD=√2・・・答【3】
(ア)にAC=√6を代入してBC=1+√6/√2=1+√3、BC=1+√3・・・答【4】
(3) 四角形 ABCD の面積は、【5】である。
＞四角形 ABCD の面積=△ABCの面積+△ACDの面積、
△ABCの面積=(1/2)AB*BCsin∠ABC=(1/2)*2*(1+√3)*√3/2=(3+√3)/2、
△ACDの面積=(1/2)AD*ACsin∠CAD=(1/2)*√2*√6*(1/2)=√3/2
よって、四角形 ABCD の面積は(3+√3)/2+√3/2=3/2+√3・・・答【5】

回答No.1

Tacosan

何をどう考えたのですか?