数学の問題

質問

三角形ＡＢＣにおいてＡＢ＝４、ＢＣ＝６、ＣＡ=５とする
cosAは（　　　　）である
sinAは（　　 ）である
三角形の面積は、（　　　）である。
これより、三角形の内接円の半径Ｒとすると、Ｒ＝（　　　）である。
内接円と辺ＡＢとの接点DとするとＡＤ＝（　　　）である。
同様に内接円と辺ＡＣとの交点をＥとする。
△ＡＤＥと面積は、△ＡＢＣの面積の（　　　　）倍である。

内接円の中心をＯとする。直線ＣＯと辺ＡＢとの交点をＰ、直線ＢＯと辺ＡＣとの交点をＱとすると、
△ＡＰＱの面積は、△ＡＢＣの面積の（　　　　）倍である。

この問題の穴に入る答えをわかりやすく教えて下さい。
できれば、計算の過程のお願いします

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答

>ひとつ聞きたいことがあります。
>AD*tan(A/2)=R=(√7)/2
>これは、なにかの公式ですか？
公式でもなんでもありません。
三角関数のtan(タンジェント)の定義の式を使ってるだけです。

添付図を見てください。
AD(AB)は内接円Oの接線ですから半径ODと接線ADは直角になります。
つまり、△OADは直角三角形です。
また△OAD≡△OAEなので　∠OAD=∠OAE=(∠A)/2
tanの定義から
tan(A/2)=tan(∠OAD) ←図の赤丸の角(AOは∠Aの2等分線)
　=OD/AD ←ODは内接円の半径R
　=R/AD
これから
　AD*tan(A/2)=R

お分かりになりましたか？

回答No.1

info22_

>三角形ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5とする
余弦定理より
cosA=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=1/8
>cosAは（　1/8　）である
sinA=√(1-(1/8)^2)=3√7/8
>sinAは（ 3√7/8 ）である

三角形ABCの面積S=(1/2)AB*CA*sinA=(1/2)4*5*(3√7/8)=15√7/4
>三角形ABCの面積は、（ 15√7/4 ）である。

S=R(AB+BC+CA)/2=R(4+6+5)/2=(15/2)R
R=(2/15)S=(2/15)(15√7/4)=(√7)/2
>これより、三角形の内接円の半径Ｒとすると、Ｒ＝（ (√7)/2 ）である。

AD*tan(A/2)=R=(√7)/2
(tan(A/2))^2=(sin(A/2))^2/(cos(A/2))^2=(1-cosA)/(1+cosA)
=(1-(1/8))/(1+(1/8))=7/9
0<A/2<90°より tan(A/2)>0
tan(A/2)=√7/3
AD*(√7/3)=(√7)/2 ∴AD=3/2
>内接円と辺ＡＢとの接点DとするとAD=（ 3/2 ）である。

>同様に内接円と辺ＡＣとの交点をＥとする。
△ACO≡△ADO(Oは内接円の中心)より　AE=AD=3/2
△ADEの面積=(1/2)AD*AE*sinA=(1/2)*(3/2)*(3/2)*(3√7/8)=27(√7)/64
△ABC=15√7/4 より　△ADE/△ABC=(27/64)/(15/4)=9/80
>△ＡＤＥの面積は、△ＡＢＣの面積の（ 9/80 ）倍である。

>内接円の中心をＯとする。直線ＣＯと辺ＡＢとの交点をＰ、直線ＢＯと辺ＡＣとの交点をＱとすると、

角の2等分線定理より
AP:PB=CA:BC=5:6 ∴AP:AB=5:(5+6)=5:11
AQ:QC=AB:BC=4:6=2:3 ∴AQ:AC=2:(2+3)=2:5
△APQの面積=△ABQの面積*(AP/AB)=(5/11)△ABQの面積
=(5/11)△ABCの面積*(AQ/AC)=(5/11)(2/5)△ABCの面積
=(2/11)△ABCの面積
>△ＡＰＱの面積は、△ＡＢＣの面積の（ 2/11 ）倍である。

#計算が間違っているかもしれないので、自身で計算して確認してみてください。

お礼

ざかりやすく丁寧に教えて頂いてありがとうございます。

ひとつ聞きたいことがあります。

AD*tan(A/2)=R=(√7)/2
これは、なにかの公式ですか？
わかりやすく説明をお願いします。