数学

質問

ｒを１より大きい実数とする。座標平面上のCrは、2点(-1,0),(1,0)を通り、半径がｒで中心のｙ座標が正であるとする。
（１）Crの方程式を求めよ。
（２）半径が√３で中心のx座標が正の円を考える。これらの円の中で、すべてのCr（ｒ＞１）と直交するものをSとする。円Sの方程式を求めよ。ただし、２つの円が直交するとは、交点におけるそれぞれの接線が直交することである。
（３）（２）で求めた円SとCrの二つの交点間の距離を求めよ。

（１）はx^2+{y-√（r^2-1)}=r^2と分かりましたが、（２）（３）がわかりません。
解き方を教えてください！

回答No.2

noname#215361 · ベストアンサー

(3)について
円Crの中心を点O1、円Sの中心を点O2、円Crと円Sの交点をA、Bとすると、
∠O1AO2=∠O1BO2=90°であり、
直角三角形AO1O2と直角三角形BO1O2は、3辺の長さがそれぞれ等しく合同
直角三角形AO1O2の面積は、1/2*AO1*AO2=1/2*r*√3=（√3/2）r
また、直角三角形AO1O2において、底辺をO1O2とした場合の高さをhとすると、
この面積は、1/2*O1O2*h=1/2*√（r^2+3）*h={√（r^2+3）/2}h
これらが等しいので、（√3/2）r={√（r^2+3）/2}h
これから、h=（√3）r/√（r^2+3）
よって、求める距離は、2*h=(2√3）r/√（r^2+3）

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

yyssaa

取り敢えず（２）
（２）半径が√３で中心のx座標が正の円を考える。
これらの円の中で、すべてのCr（ｒ＞１）と直交するものをSとする。
円Sの方程式を求めよ。ただし、２つの円が直交するとは、交点におけるそれぞれの接線が直交することである。
＞二つの円が直交するなら円Sの方程式を(x-a)^2+(y-b)^2=3とすると、
Sの中心(a,b)とCrの中心(0,√(r^2-1))との距離は三平方の定理により
√{r^2+(√3)^2}=√(r^2+3)
これは2点間の距離√[a^2+{b-√(r^2-1)}^2]に等しいので
r^2+3=a^2+{b-√(r^2-1)}^2
整理してa^2+b^2-2b√(r^2-1)=4
この式がr＞1を満たす全ての実数rで成り立つためには
b=0、a=±2でなければならず、題意からa＞0だからa=2、
よってSは(x-2)^2+y^2=3・・・答

なお、（１）の答えは（１）はx^2+{y-√（r^2-1)}^2=r^2です。

お礼

ありがとうございます！