数学の図形の問題

質問

平面上に、点P（１０、０）を中心とする円（x-10）^2+y^2=r^2と直線y=ax(a>0)がある。

この円と直線は異なる点S,Tと交わっており、交点のx座標をs、tとする。（0<s<t<10)

また△OPSの面積は５、△OPTの面積は２５である。

この時aの値と円の半径rを求めよ。

という問題が解けません。
ちなみに明治大学の経営学部の2009年の入試問題のようです。
詳しく解説してもらえるととても嬉しいです。
どうかよろしくお願いします。

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

（0<s<t<10)が重要ですね。

交点はS(s,as),T(t,at)

△OPS=10*as/2=5as=5

△OPT=10*at/2=5at=25

以上から

as=1, at=5 (1)

S,Tが円上にある条件から

(s-10)^2+a^2s^2=(t-10)^2+a^2t^2=r^2

(1)を用いて

(1/a-10)^2+1=(5/a-10)^2+25

1/a=pとすると

p^2-10p/3+1=0

p=3または1/3

a=1/3または3

0<s<t<10となるためにはa=3(図を書いて確認すること）

r^2=(1/a-10)^2+1=50

r=5√2

お礼

ありがとうございます！！！すごいわかりやすかったです！ちなみに言いますと、△OPTを出すときになぜかt^2にしていたことが解けない原因でした…一時間近く悩んだ末のくだらない間違いでした。でもでも、本当にありがとうございます！

回答No.5

yyssaa

＞点T=T(t,at)=T(t,√{r^2-(t-10)^2})、
点S=S(s,as)=S(s,√{r^2-(s-10)^2})
△OPSの面積=(1/2)*10as=5、as=1
△OPTの面積=(1/2)*10at=25、at=5
√{r^2-(s-10)^2}=1、r^2-(s-10)^2=1、
r^2-(1/a-10)^2=1・・・・・(ア)
√{r^2-(t-10)^2}=5、r^2-(t-10)^2=25、
r^2-(5/a-10)^2=25・・・(イ)
(イ)-(ア)
-(5/a-10)^2+(1/a-10)^2=24
-(5-10a)^2+(1-10a)^2=24a^2
整理して3a^2-10a+3=0、(3a-1)(a-3)=0、
a=1/3、a=3
a=1/3ではt=5/a=15＞10で条件に反するからa=3
(ア)に代入r^2-(1/3-10)^2=1
整理してr^2=850/9、r=5√34/3
以上からa=3、r=5√34/3・・・答

お礼

ご回答ありがとうございます！スッキリ解決です！spring135 さんとベストアンサーをどちらにするか迷ったのですが、回答番号が若い方にさせていただきました。

回答No.3

anisakis

SとTのy座標をh1,h2とすれば
10*h1/2=5 h1=1
10*h2/2=25 h2=5
よってS(1/a,1),T(5/a,5)
P(10,0)なので
PS^2=PT^2でaが求まると思います

お礼

ご回答ありがとうございます！解決しました！

回答No.2

shuu_01

いちおう解いたのですが、分数のルートとか計算が面倒で、検算する気になれません

円と直線が交わるというので、　y ＝ ax をそのまま、（x-10）^2+y^2=r^2　につっこんだら

x　の二次方程式ができ、解の公式で　s、t　を求め、

s＋t　を計算すると、r　が消え、a^2 が求まり、

t - s を計算すると、a と r の式になり、a^2 を代入すると、r^2 も求まったのですが、

ひたすら計算が面倒くさく、もう１度 計算する気になれません

お礼

ご回答ありがとうございます。確かにこの計算はえぐいですよね（泣）それをわざわざ解いて下さりありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

s と t の比が分かるから解と係数の関係でなんとかならんか?

お礼

一番早いご回答ありがとうございます！