異なる二点Ａ、Ｂ、を通る直線のベクトルについて

質問

A（a↑）　B（b↑）　C(ｃ↑)　とする。　M　を辺BCの中点とするとき、△ABCの中線AMのベクトル方程式　ｐ↑　を求めよ。　　

　　　　M　［1/2（ｂ↑+　ｃ↑）］　と表し、

　　　　ｐ↑　＝　　　1/2（ｂ↑+ｃ↑）　+　ｔ［1/2（ｂ↑+ｃ↑）　－　a↑　］　　（ｔは媒介変数）

と回答が載っているのですが、

　　　　ｐ↑　＝　　a↑　＋　ｔ　［　1/2（ｂ↑+ｃ↑）　－　a↑　］

と計算するのは間違いでしょうか？
間違いでしたら、どこに誤りがあるか教えてください。
見えずらい式ですが、どうかお願いします。

回答No.4

noname#215361

ANo.3の補足です。

△ABCで三点A、B、Cが決まるのですが、これらの位置をベクトルで表わす場合に、三点A、B、Cをベクトルの終点と考えれば、当然にベクトルの始点が必要になるので、これをANo.3でOとした訳です。
これによって、
a↑=OA↑、b↑=OB↑、c↑=OC↑、M［1/2（b↑+c↑）］=OM↑=1/2（b↑+c↑）=1/2（OB↑+OC↑）、p↑=OP↑
になります。（OP↑におけるPは、中線AM上の任意の点になります。）
また、質問にある式において、1/2（b↑+c↑）をOM↑に置き換えると、式が見やすくなってその後の変形も分かりやすくなります。
ANo.3の繰り返しになりますが、質問にある上の式の表現を改めると、
OP↑=OM↑+t（OM↑-OA↑）
質問にある下の式の表現を改めると、
OP↑=OA↑+t（OM↑-OA↑）
になります。
この後の考え方は、ANo.3の通りです。

回答No.3

noname#215361

ANo.2の補足です。

通常は、△ABCで三点A、B、Cが決まるのですが、この質問ではさらに第四の点（これをOとします。）を考えています。
以下、自己流の表現をしますので、悪しからずご了承ください。

質問で、上にある式の表現を改めると
ベクトルOP=ベクトルOM+t*（ベクトルOM-ベクトルOA）
これを展開して整理すると
ベクトルOP=（t+1）*ベクトルOM-t*ベクトルOA-(1)
質問で、下にある式の表現を改めると
ベクトルOP=ベクトルOA+t*（ベクトルOM-ベクトルOA）
これを展開して整理すると
ベクトルOP=t*ベクトルOM-（t-1）*ベクトルOA-(2)
(2)において、t=s+1とおくと、t-1=s
これから、(2)は次のようになる
ベクトルOP=（s+1）*ベクトルOM-s*ベクトルOA
これは、(1)と全く同様の形の式になる

以上から、考え方に誤りはありません。

お礼

補足までありがとうございます。
まだ、補足の方は理解できてませんが、
理解できるまで頭を働かせます。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#215361

まず、問題は「異なる二点A、Mを通る直線ベクトルについて」ですね。

下の式で初めのa↑を
a↑　＝　1/2（ｂ↑+ｃ↑）－［　1/2（ｂ↑+ｃ↑）　－　a↑　］
とすると
ｐ↑　＝　1/2（ｂ↑+ｃ↑）　＋　（ｔ－1）［1/2（ｂ↑+ｃ↑）　－　a↑　］　
となって、結局は同じことです。

回答No.1

noname#200028

どちらでもいいです。

ｐ↑　＝　　　1/2（ｂ↑+ｃ↑）　+　ｔ［1/2（ｂ↑+ｃ↑）　－　a↑　］　

の式でｓ＝１＋ｔとおくと

ｐ↑　＝　　a↑　＋　ｓ　［　1/2（ｂ↑+ｃ↑）　－　a↑　］

となります。逆もしかり。

どちらかというと模範解答よりあなたの書いた式のほうがｔ＝０のときＡ、ｔ＝１のときＭとなるので”きれい”だしオススメと思います。

お礼

ありがとうございます。

すこし自信が付きました。