点A、Bの位置ベクトルをa↑、b↑とし点Pの.....

質問

点A、Bの位置ベクトルをa↑、b↑とし点Pの位置ベクトルをp↑=α(a↑)+β(b↑)とするとき ...

点A、Bの位置ベクトルをa↑、b↑とし
点Pの位置ベクトルをp↑=α(a↑)+β(b↑)とするとき
１．点Pが直線AB上にある条件をα、βで表せ
２．点Pが三角形OABの内部にある条件をα、βの不等式で表せ (Oは原点)

の問題で、、

１．の解説を見てみると

(AP)↑=t(BP)↑となるtがある。
α(a↑)+β(b↑)-a↑=t{α(a↑)+β(b↑)-b↑}
これをa↑、b↑でまとめると
(α-1-tα)a↑+(β-tβ-t)b↑=0↑となり

α-1-tα=0 (1)
β-tβ-t=0　(2)　（連立方程式）

(1)(2)からtを消去すると答えは　α+β=1　となる

と書いてありました。

解説を見ながら、自分でやってみたらちゃんと答えどおりになったのですが

なぜ(1)(2)の連立方程式が出てくるのか分かりません

あと２．の解きかたが分からないので教えてください。
答えは
α>0
β>0
α+β<0
になるみたいです。

長々と読みづらいですが、回答よろしくお願いします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

此の問題は、何を書いてもＩＭＡＧＥがないと理解困難です。
α＝Ｘ
β＝Ｙ　と置き換えて、
α＋β＝1　は　Ｘ＋Ｙ＝１　です。
ベクトルは、矢印なしに、ａ，ｂと表記します。
ーーー

ＸＹ座標に、大きさ１の直交するａ，ｂをとる。
即、ａ＝（１、０）、ｂ＝（０、１）
Ｘ＋Ｙ＝１　は　ａ，ｂ　の終点を結んだ、＜直線＞の意。
Ｘ≦１、Ｙ≦１　を加味すると、Ｘ＋Ｙ＝１　は＜線分＞ＡＢの意。
Ｘ＜１、Ｙ＜１　ならば、＜線分ＡＢ＞から点Ａ・点Ｂを除く、の意。

Ｘ＞０、Ｙ＞０　は（Ｘ、Ｙ）が第一象限の意。
Ｘ＋Ｙ＜１、は　Ｘ＋Ｙ＝１　より下の領域の意。
両者を合わせると、△ＡＯＢの内部の意。

　　　　　　↑＼Ｂ（０、１）
　　　　　　｜　　＼
　　　　　　｜　　　　＼
　　　　　　｜　　　　　　＼
　　　　　　｜　　　　　　　　＼
　　　　　　｜　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　━━━━━━━→
　　　　　Ｏ（０、０）　　　　　　　　　Ａ（１、０）

ベクトルの大きさが変化し、ａ，ｂが直交せずとも、

　　　　━●
　　　　／｜
　　／
／　　　　　　　　　　＼
━━━━━━━━━●
　　　　　　　　　　　／

同様に解釈できれば、良いのですが。
ーーー

若干の誤植は訂正して解釈します。
β-tβ＋t=0　ですね。

＞＞なぜ(1)(2)の連立方程式・・・。

Ｋａ＋Ｌｂ＝Ｏ　
（Ｋ、Ｌは実数）
（ａ，ｂはベクトル）（Ｏは零ベクトル）
ａ，ｂは同じ向きではなく、（一次独立）
Ｋ＝０、Ｌ＝０　以外では等式が成立せず、
Ｋ＝０、Ｌ＝０　としかなりません。

＞＞あと２．の解きかたが・・・
＞＞α>0、β>0

此の考え方で（は／も）、
ｔ＞のとき、点ＰはＡＢの外分点。
ｔ＜０のとき、点ＰはＡＢの内分点。
（α-1）／α＝ｔ
（α-1）／α＜０
両辺にα＾２を掛けて
α（α-1）＜０
０＜α＜１・・・・（１）

β／（βー１）＝ｔ
β／（βー１）＜０
両辺に（βー１）＾２を掛けて
β（βー１）＜０・・・・・・・（＃）
０＜β＜１・・・・（２）

本題
α＋β＝1　　
βー１＝ーα
　　　　　β（βー１）＜０・・・（＃）より、
β（ーα）＜０
αβ＞０
α、βは同符号、
α+β=1　より、α＜0、かつβ＜0では矛盾。
α＞0、かつ　β＞0・・・（３）　

尚、（１）（２）（３）は同値です。
ーーー
＞＞あと２．の解きかたが・・・
＞＞α+β<0
良く見たら、
α+β<１　の誤植ですね。

α＋β＜１　は、
α＋β＝（１／２）　とすれば
(2α)＋(2β)＝１
もとの式は、
（α＊ａ）＋（β＊ｂ）＝１
2α（(1/2)ａ）＋2β（(1/2)ｂ）＝１
(2α)＋(2β)＝１
即
(1/2)ａ　と　(1/2)ｂ　の終点を結ぶ線分となり、
（○と○を結ぶ線分）
　　　　　●
　　　　／
　　○
　／　　　　　　
━━━━　○━━━●

(Ｍα)＋(Ｍβ)＝１　　　　　　
Ｍα（(1/Ｍ)ａ）＋Ｍβ（(1/Ｍ)ｂ）＝１
(Ｍα)＋(Ｍβ)＝１
(1/Ｍ)ａ　と　(1/Ｍ)ｂ　の終点を結ぶ線分。［Ｍ＞１］
結局は△ＡＯＢの内部を表す。
ーーー
と書いたけれども、
冒頭のＩＭＡＧＥがないと、理解困難とは思います。

お礼

とても丁寧な回答で感激しました☆
２．の解き方は少し難しいですね..
でもがんばってもう一度といてみます★
ありがとうございました（・∀・）

回答No.2

einart

紙に三角形OABを起こしてみてください。

(α-1-tα)a↑+(β-tβ-t)b↑=0↑

から(1)(2)が出る理由は

　Aa↑+Bb↑=0

が成り立つためのA,Bを考えると、図とにらめっこして
　A=0　B=0
のときに限ることが分かりますよ。

２．については少し難しいですね。

三角形の中に点Pを打ってみて下さい。すると
ｃP↑が辺ABと交わるように、ｃを作れますね。
これを色々な目線で観察してみてください。
すると
　　α+β＜1
が出てくることでしょう。（piano-girlさんはα+β＜0としていますが、問題文をもう一度見て頂きたい）

質問内容と回答内容が一致しているか少し不安です。紙とエンピツが正答への手がかりです！

お礼

２．の答えはやっぱり間違っていたみたいです。
数学の先生の解答だったんですが、、

皆さんの丁寧な回答をもとに
紙とエンピツでがんばって解いてみます！
ありがとうございました★

回答No.1

hkd9001

こんにちは。
----------------------------------------------
(AP)↑=t(BP)↑となるtがある。
α(a↑)+β(b↑)-a↑=t{α(a↑)+β(b↑)-b↑}
これをa↑、b↑でまとめると
(α-1-tα)a↑+(β-tβ-t)b↑=0↑となり
----------------------------------------------
たぶん質問者さんが　おわかりにくいのは、この部分と思います。
では、以下のように書きなおしてみたけれど、どうかな？

(AP)↑=t(BP)↑-----(11)
となる t がある。

これは、(AP)↑　と　(BP)↑　とが一直線上にあるからである。

ところで三角形OAP に注目すると

a↑+ (AP)↑= p↑

である。題意より　p↑=α(a↑)+β(b↑)　であるから

a↑+ (AP)↑ = α(a↑)+β(b↑)、移項して

(AP)↑ = α(a↑)+β(b↑) - a↑ -----(12)

同様に (BP)↑= の式を求め、(12) とともに上記 (11)に代入すれば

α(a↑)+β(b↑)-a↑=t{α(a↑)+β(b↑)-b↑}　。

これをa↑、b↑でまとめると…（以下略）

補足

書き直してみるとなかなか分かりやすいですね（・∀・）!
回答どうもありがとうございました★