ベクトルa,ベクトルbと実数tに対してP=|ベクトルa+tベクトルb|

質問

ベクトルa,ベクトルbと実数tに対してP=|ベクトルa+tベクトルb|とする。すべての実数tに対してP≧｜ベクトルa｜が成り立つとき、ベクトルaベクトルbの間にどのような関係式が成り立つか
という問題で分からない箇所がございました。

解説
P≧0であるから P≧｜ベクトルa｜はＰ^2-|ベクトルa|^2≧0と変形できる。・・・(1)

与式のP=|ベクトルa+tベクトルb|を２乗し変形すると、
Ｐ^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbtになるので、
(1)よりＰ^2-|ベクトルa|^2＝Ｐ^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbt

よってＰ^2-|ベクトルa|^2がすべての実数tに対して成り立つ条件は

|ベクトルb|^2=0かつベクトルa・ベクトルb=0・・・(2)
または
｜ベクトルb｜^2>0かつ|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbt
の判別式Ｄ＝ベクトルa・ベクトルｂ≦０・・・(3)

(2)からベクトルｂ＝０　　(3)からベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb＝0
したがって、求めるベクトルa・ベクトルｂの関係式はベクトルa・ベクトルｂ=0である

が答えだそうなんですが、最後の
＞したがって、求めるベクトルa・ベクトルｂの関係式はベクトルa・ベクトルｂ=0

が理解できません。
＞(2)からベクトルｂ＝０　　(3)からベクトルb≠0 ベクトルa・ベクトルb＝0
なので、すべての実数tに対してP≧｜ベクトルa｜が成り立つ条件は
ベクトルｂ＝０またはベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb＝0ってことですよね？
そこからどうして
「したがって、求めるベクトルa・ベクトルｂの関係式はベクトルa・ベクトルｂ=0」になるのでしょうか？すべての実数tに対してP≧｜ベクトルa｜が成り立つ条件から、
ベクトルaとベクトルbを使った式を選んで答えにしただけなんでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞＞(2)からベクトルｂ＝０　　(3)からベクトルb≠0 ベクトルa・ベクトルb＝0
＞なので、すべての実数tに対してP≧｜ベクトルa｜が成り立つ条件はベクトルｂ＝０またはベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb＝0ってことですよね？
＞そこからどうして「したがって、求めるベクトルa・ベクトルｂの関係式はベクトルa・ベクトルｂ=0」になるのでしょうか？

　見やすさのため「ベクトル」という語は省略します。

　b=0 または　（b≠0 かつ a・b=0）　までの条件はOKなのですよね。

　a・b=0 の条件の中には b=0 も含まれているのですが、「かつ」の条件でb=0を排除しています。
　その後で、「または」で b=0 が付け加わっているのです。
　そうしたら、元の　a・b=0 のままになりますよね。

　最後のところは　「b=0 または　（b≠0 かつ a・b=0）」⇔「a・b=0」　を言っているのです。

お礼

な、なるほど。。。なんとわかりやすい解説でしょう。感服いたしました。私が理解できなかったところを完璧に分かりやすく簡潔に解説してくださいました。すごいです。ありがとうございました。