直線を内分の公式を利用してベクトルで表す

質問

次の直線の方程式を媒介変数tを利用して表せ

点a(-1,1), 点b(2,-5)を通る直線

とありました。内分の公式を利用して間にベクトルPを定めたとしたとき、
媒介変数を利用してaとpの間の比をt,そしてbとpの間を当然ですが(1-t)と置き、
計算したところ、
(3t-1,-6s+1)

とあっていました。
ですがここで疑問です、
比は当然tならもう一方は内分する場合(1-t)ですが、この比の設定をa-p間、b-p間において前者を(1-t),後者をt
として計算すると
(-3t+2,6t-5)
となってしまいます。

これは解答と異なる出力になってしまいますが考え方はあっていないのでしょうか。

特に言及もしていなかったのでなおさら誰にも聞けず気になっています。

上記のベクトルの場合、もしもa-p間を必ずtと置かなければならない場合、なぜそうなのか、あるいはa-p間を(1-t)とおいても正解なのか。

そもそもそれすらわかりません。

くだらない質問ですみませんがわからなくて大変困っております。
ご迷惑おかけしますがご指導よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

「媒介変数を利用してaとpの間の比をt,そしてbとpの間を当然ですが(1-t)と置き」というのはあなたがそう決めたのですよね。どんな風に変数を決めるかは自由なのですから，それを使った式はその定義によって異なることは明らかでしょう。
「もしもa-p間を必ずtと置かなければならない」なんてことはありません。a-p間を(1-t)とおいても当然に正解です。

(3t-1,-6s+1)は(3t-1,-6t+1)の誤記だろうが，この式でt=1-Tとすれば
(3(1-T)-1,-6(1-T)+1)=(-3T+2,6T-5)となって(-3t+2,6t-5)と同じことになります。

お礼

いつも素晴らしい解答解説ありがとうございます。
定義した数値の基準が異なるだけで出力していることは同じことだというのが最後の計算で非常によくわかりました。本当にありがとうございます。

回答No.3

178-tall

二点 a, b を通る直線の「内分の公式」では、たとえは
　内分始点 a(-1,1) → t=0
　内分終点 b(2,-5) → t=1
なる「条件」を与えて、媒介変数 t 表示、
　(3t-1,-6t+1)
を得る。

「条件」が変われば、「結果」も変わる。

相異なる「媒介変数 t 表示」の直線の同異を調べるには、たとえば Y = AX + B に式変換してくらべてみればよい。
　(pt+q, rt+s)
　　　　↓
　Y = AX + B
　　A = r/p
　　B = s - (qr/p)

回答No.2

kiha181-tubasa

結論を先に言えば「あなたの解答は正しいです」

　逆に「解答集」に載っていた（3t-1,-6s+1）は，sとtが任意の実数値を取るので平面全体を表してしまいます。（3t-1,-6t+1）が正解で，誤謬でしょうね。

　質問者の（-3t+2,6t-5）はもちろん正解。直線上の点Pと２点からの距離の比を，t：(1-t) にするか(1-t)：tにするかの違いです。