高校１年、数Iの問題

質問

A＝x^2－3x－a、B＝ax^2＋x＋1
ABを展開した整式をaについて整理するとき、aの1次の項の係数は
x^4－■x^3－x－■である。

■にあてはまる数字を入れるのですが、計算過程がわかりません。
(x^2-3x-a)(ax^2+x+1)
=X^2×ax^2+x^2(x+1)--3x×ax^2-3x(x+1)-a×ax^2-a(x+1)
として計算していきましたが、答えが全然違いました。
カッコの中の項が３つあり、さらにまとめられそうなものがなくて全然わかりません。

わかりやすく解説して頂きたいです。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

全部まじめに展開しなくても、ａについて一次の項だけ
考えればいいのです（まじめにやってももちろん構いません）。
Aに含まれる項は
（１）ｘ＾２
（２）－３ｘ
（３）－ａ
の三つです。一方Ｂに含まれる項は
（あ）ａｘ＾２
（い）ｘ
（う）１
の三つです。
（１）から（３）の中の一つと、（あ）から（う）の中の一つを
選んでその積を計算するとき、ａの次数が１次になるのは
（１）と（あ）→ａｘ＾４
（２）と（あ）→－３ａｘ＾３
（３）と（い）→－ａｘ
（３）と（う）→－ａ
の４通りです。従ってＡとＢの積からａの一次の項だけ抜き出すと
ａｘ＾４－３ａｘ＾３－ａｘ－ａ＝ａ（ｘ＾４－３ｘ＾３－ｘ－１）
となり、ａの係数は
ｘ＾４－３ｘ＾３－ｘ－１
です。

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。
全部展開しなくても良いんですね！
納得できました。

回答No.4

asuncion

A = x^2 - 3x - a
B = ax^2 + x + 1

ABをaについて整理して、aの1次の項の係数を求める、
ということは、
Aからaの付いた項を選択し、かつ、Bからaの付かない項を選択する。 ... (1)
Aからaの付かない項を選択し、かつ、Bからaの付いた項を選択する。 ... (2)

(1)
-a
と
x + 1
より、-(x + 1)a

(2)
x^2 - 3x
と
ax^2
より、(x^4 - 3x^3)a

∴x^4 - 3x^3 - x - 1

お礼

わかりやすい解説をありがとうございました。
納得できました。

回答No.3

noname#221160

ABを展開した整式をaについて整理するとき、
aを変数としてxは定数としてみるといいですよ。
すると、ABはaについて2次式になりますね。

質問者さんのように、AとBに全てを代入して一気に計算しないで
計算結果を予想して変数aがつくものを考えると楽ですよ。

aの2次の項は-a*ax^2
ですね。(*は乗算)

aの1次の項の一つは-a*(x+1)
もう一つは(x^2-3x)*ax^2
です。

ここで、問題はaの1次の項の係数を求めるのだから、

aの1次の項の係数=-(x+1)+(x^2-3x)x^2=x^4-3x^3-x-1

となります。

よって、最初の■は3で、後の■は1です。

質問者さんの途中式をaについてまとめると同じ結果になりますよ。

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。
納得できました！

回答No.1

spring135

慣れていればいきなりaの係数を出せるが、ここでは式の展開からやる。

(x^2-3x-a)(ax^2+x+1)=-[a-(x^2-3x)][x^2a+(x+1)]

=-{x^2a^2+[(x+1)-x^2(x^2-3x)]a-(x^2-3x)(x+1)}

=-x^2a^2-[(x+1)-x^2(x^2-3x)]a+(x^2-3x)(x+1)

=-x^2a^2+[x^2(x^2-3x)-(x+1)]a+(x^2-3x)(x+1)}

aの1次の項の係数は

x^2(x^2-3x)-(x+1)=x^4-3x^3-x-1

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。
展開式もとてもわかりやすかったです。
展開式と展開しない方法、両方勉強します。