広義積分演習問題

質問

∫【0、∞】xe^－１ｄｘは収束しますか

回答No.2

info222_

この↓問題合っていますか？
>∫[0,∞] xe^(-1) ｄｘ

合ってるなら
∫[0,∞] xe^(-1) ｄｘ=[(1/e)x^2/2] [0,∞]=∞-0=∞
となって発散。

もし
「∫[0,∞] xe^(-x) ｄｘ」
の間違いなら
∫[0,∞] xe^(-x) ｄｘ
=lim(A→∞)∫[0,A] xe^(-x) ｄｘ
=lim(A→∞) [-xe^(-x)][0,A]+∫[0,A] e^(-x) dx
=lim(A→∞) [-xe^(-x)-e^(-x)][0,A]
=lim(A→∞) -A/e^A-e^(-A)+e^0
=lim(A→∞) -A/e^A -lim(A→∞) e^(-A) +1
=lim(A→∞) -A/e^A -0 +1
=1-lim(A→∞) A/e^A　← ∞/∞型なのでロピタルの定理を適用する
=1-lim(A→∞) 1/e^A
=1-0
=1 …（答）

となって1に収束します。

回答No.1

spring135

∫【0、∞】xe^(-x)ｄｘ

ですか。

補足

問題文をまちがえました。解答者様のご指摘の通りです。
∫【0、∞】xe^(-x)ｄｘについてご教授ください。