広義積分問題

質問

∫【0、∞】xe^(-x)ｄｘを解いてください。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

質問者さんの前の質問のANo.2で解答済みです。

同じ解答を
再掲します。

∫[0,∞] xe^(-x) ｄｘ
=lim(A→∞)∫[0,A] xe^(-x) ｄｘ
=lim(A→∞) [-xe^(-x)][0,A]+∫[0,A] e^(-x) dx
=lim(A→∞) [-xe^(-x)-e^(-x)][0,A]
=lim(A→∞) -A/e^A-e^(-A)+e^0
=lim(A→∞) -A/e^A -lim(A→∞) e^(-A) +1
=lim(A→∞) -A/e^A -0 +1
=1-lim(A→∞) A/e^A　← ∞/∞型なのでロピタルの定理を適用する
=1-lim(A→∞) 1/e^A
=1-0
=1 …（答）

お礼

ロピタルの定理を適用するのですか。
ありがとうございます。

回答No.3

spring135

広義積分の部分積分を使います。

I=∫【0、∞】xe^(-x)ｄｘ=lim(y→∞)∫【0、y】xe^(-x)ｄｘ

∫【0、y】xe^(-x)ｄｘ=[x(-e^(-x))](0,y)-∫【0、y】(-e^(-x))ｄｘ

=ye^(-y)+∫【0、y】e^(-x)ｄｘ

=ye^(-y)[-e^(-y)](0,y)

=ye^(-y)-e^(-y)+1

I=∫【0、∞】xe^(-x)ｄｘ=lim(y→∞)[ye^(-y)-e^(-y)+1]=1

お礼

詳解ありがとうございました。

回答No.1

NoSleeves

こうだそうです。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%2F%28e%5Ex%29+dx+from+x%3D0+to+infinity

お礼

ありがとうございます。