広義積分

質問

次の広義積分が収束するかどうか、調べてください。収束する場合はその値も求めてください。

∫[1,∞]1/(x^3+1)dx

3次式の因数分解の公式を使うんでしょうか?

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

次の部分分数分解してから積分すればいいでしょう。
1/(x^3+1)=1/((x+1)(x^2-x+1))=(1/3){1/(x+1) -(x-2)/(x^2-x+1)}

この不定積分F(x)は 積分範囲からx≧1であることを考慮すると
F=(1/3)ln(x+1)-(1/6)ln(x^2-x+1)+(1/√3)tan^-1((2x-1)/√3)+C
=(1/6)ln{(x+1)^2/(x^2-x+1)} +(1/√3)tan^-1((2x-1)/√3)+C
=(1/6)ln{1+3x/(x^2-x+1)} +(1/√3)tan^-1((2x-1)/√3)+C

これから広義積分Iは
I=lim[x→∞] F(x) -F(1)
=(1/6)ln(1)+(1/√3)(π/2) -(1/6)ln(4)-(1/√3)tan^-1(1/√3)
=π/(2√3) -(1/3)ln(2)-(1/√3)(π/6)
=π/(3√3) -(1/3)ln(2)

となるかと思います。

回答No.1

Tacosan

もちろん使いますよ.