広義積分に関する質問です。

質問

以下の命題は成り立つでしょうか？

∫(-∞～+∞）｜f(x)｜dx ＜Ｍ＜∞

ならば

∫(-∞～+∞）｜f(x+h)－f(x)｜dx

が、h→０とした時、０に収束する。

色々考えてみたのですが、わからず非常に困っています…。

どなたかお分かりの方いらっしゃいましたら教えていただけませんでしょうか？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

R上可積分関数の空間においてコンパクトサポートを持つ滑らかな関数全体は稠密であるという事実は知っておられますか？もしご存知でなければルベーグ積分に関する適当な本を参照していただければよいと思います。たとえば一つの考え方としては階段関数で近似しその階段関数をコンパクトサポートを持つ連続関数で近似、更に連続関数を滑らかな関数（多項式で十分）で一様に近似するというものです。
この手の議論はほとんどのルベーグ積分関連の書籍に載ってるはずです。

お礼

ringohatimitu様

丁寧にご解説頂き、誠に有難うございます。
3連休中にルベーグ積分に関する勉強をしてみたところ、大体理解することが出来るようになりました。

非常に助かりました。
心よりお礼申し上げます。

回答No.1

ringohatimitu

成り立ちますね。
たとえばfをコンパクトサポートを持つ滑らかな関数でL^1近似してtelescopeすればよいです。
具体的には、
∫|f-g|＜δとなるコンパクトサポートを持つ滑らかな関数gをとり
|f(x+h)-f|≦|f(x+h)-g(x+h)|+|g(x+h)-g(x)|+|g(x)-f(x)|
と変形してxについて積分し、各項を評価します。第二項の積分についてはgに対する仮定よりh→0で十分小さくできます。試してみてください。

補足

ringohatimitu様

大変丁寧に対応して頂きまして、誠に有難うございます。

恐縮なのですが、∫|f-g|＜δとなるコンパクトサポートを持つ滑らかな関数gが取れるというのは、なぜなのでしょうか？