因数分解ができても五次方程式は解けないということ

質問

これは質問ではないかもしれませんが、(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0で、a,b,c,d,eが根となるとしても、この方程式は解けないという風に考えていてもよいのでしょうか。具体的に何かをやってみたいのではないのですが、高校時代に因数分解に悩まされたことと関係があるのだろうかと想像しております。

回答No.7

Knotopolog · ベストアンサー

＃５です．
補足とお礼，ありがとうございます．
以下は，補足に対する返答です．

＞ガロアやアーベルという人が言っていたことは関係がないのでしょうか。
関係がないどころか，おおいに関係があります．
エヴァリスト・ガロアやニールス・ヘンリック・アーベルの仕事が現れる以前は，五次方程式が解けるのか解けないのかが分かっていませんでした．

「五次方程式は解けない」と言うことをはっきり示したのが，エヴァリスト・ガロアとニールス・ヘンリック・アーベルです．

それ以来「五次方程式は解けない」という言い方をされだしたのです．

回答No.6

BBblue

「2次方程式が解ける」　とは　「【すべての】2次方程式が解ける」ということです。
同様に、
「3次、4次の方程式が解ける」　とは　「【すべての】3次、4次の方程式が解ける」ということです。

では「5次方程式が解けない」とは？

これは
「【すべての】5次方程式が解けない」　のではなく、
「5次方程式には【解けないものがある】」　という意味になります。
逆に言えば解けるものもあるということで、因数分解できる場合はその解けるほうになります。

お礼

なるほどよくわかりました。ご教示ありがとうございました。

回答No.5

Knotopolog

質問者さんは，方程式が｛解ける」という意味を誤解されておられるようですね！

＞因数分解ができても五次方程式は解けないということ
（１）．因数分解ができれば，その時点で方程式は解けたということです．
（２）．「五次方程式が解けない」という意味は，一般的には解けないと言うことです．「一般的には解けない」というのは，五次方程式　x^5＋Ax^4＋Bx^3＋Cx^2＋Dx＋E＝0　に対して，実数，A，B，C，D，E　がどんな数であっても，＋, －, ×, ÷, √，を使って，x＝ψ(A，B，C，D，E)と書ける関数ψが無いということです．
（３）．(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0　は，たまたま，五次方程式　x^5＋Ax^4＋Bx^3＋Cx^2＋Dx＋E＝0 が，

A＝－(a＋b＋c＋d＋e)
B＝(b＋c＋d＋e)a＋(c＋d＋e)b＋(d＋e)c＋ed
C＝－((c＋d＋e)b＋(d＋e)c＋ed)a－((d＋e)c＋ed)b－edc
D＝(((d＋e)c＋ed)b＋edc)a＋edcb
E＝－edcba

という関係にあるため，x^5＋Ax^4＋Bx^3＋Cx^2＋Dx＋E＝0　が　(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0　に変形できる，と言うにすぎません．

＞(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0で、a,b,c,d,eが根となるとしても、
＞この方程式は解けないという風に考えていてもよいのでしょうか。

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0 の方程式は、a,b,c,d,e が根で解けています．したがって，この「方程式は解けないという風に考えて」はいけません．この方程式は解けています．

繰り返しになりますが，「五次方程式は解けない」のではなく，公式に書き表せない，だけなのです．ただ，それだけの事です．

ですから，もし，新しい方法が考え出されれば，その新しい方法を使って公式に書き表せる時代が来るかも知れないという事です．

お礼

おかげさまで自分なりに納得できたと思えました。ありがとうございました。

補足

ガロアやアーベルという人が言っていたことは関係がないのでしょうか。

回答No.4

ibm_111

いやxは実数もしくは複素数だとは書かれていないので、実は行列かもしれず、
だとすると、何も5次方程式に限らず、2次方程式であったとしても
(x-a)(x-b)=0　⇔　x=aまたはb
とは限りません。

このへんの解説が分かりやすいですかね。
「零因子」で検索すればたくさん出てきます。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html

お礼

さっそく読ませていただきます。ご教示ありがとうございました。

回答No.3

fermat4033

まず大前提としてあるのは、n次方程式は必ずn個の解を持っているということです。
昔、ルフィーニとアーベルという数学者が、n≧5を満たすn次方程式の解の公式は存在しないことを示しました。これは、方程式の係数と冪根を使っては解を表せないということです(2次方程式のようにうまくはいかないということです)。
その後に、ガロアという数学者が、一般的なnについて、n次方程式がいつ代数的に解けて、いつ解けないのかを示しました。「代数的に解く」とは、先ほど述べたように、方程式の係数と冪根で解を表すということです。
つまりは、「代数的に解ける方程式」と「解けない方程式」があるわけです。

因数分解というのはとても特別な行為で、方程式の係数などを弄る計算を全くせずに、解をパッと求められます。質問者さんの例の様に因数分解できているなら、それは解けていることになるのです。解はx=a,b,c,d,eと分かるのですから。

つまりこういうことです。
・因数分解できれば、その方程式は解ける。
・因数分解とは別に、「(解の公式を
用いるときのように)代数的に解く」という手段があり、その場合には、5次以上の時、解ける場合と解けない場合がある。

お礼

ご説明いただき、よくわかったような気がするのですが、正直にいえば、一般の五次方程式は代数的には解けないのに、そのなかに因数分解で解けるものも含まれていることがわからないのだろうと思っています。

補足

代数的に解けないということと因数分解できないというのは同じ意味ですか。

回答No.2

asuncion

どうやるかはともかく、
因数分解できたのなら、
その方程式は解けてます。

もしかして、5次以上の
方程式には解の公式が
存在しない、という話と
ゴッチャになってますか？

お礼

ご教示ありがとうございます。五次方程式は解けないということと因数分解を行うための公式がないこととは関係ないでしょうか。

回答No.1

info222_

>この方程式は解けないという風に考えていてもよいのでしょうか。

駄目です。

「(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0
と因数分解できる。」
⇔
「この五次方程式は解けて、その根はx=a,b ,c,d,eである。」

ということです。