代数学（体）

質問

集合Ｑ(√2)={a+b√2|a,b∈Ｑ}が体であることを示せ。

なんですが教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.1

jmh · ベストアンサー

体の定義を満たすかどうか、１つずつ検証してみましょう。

1. Q(√2) は加法＋に関して可換群。
2. Q(√2) - {0} は乗法×に関して群。
3. 分配法則。

1(ass) Q(√2) の＋は結合的。
　A = a + b√2, B = c + d√2, C = e + f√2 ∈ Q(√2) とする。
　(A + B) + C = ((a + b√2) + (c + d√2)) + (e + f√2)
　　= ((a + c) + (b + d)√2) + (e + f√2)
　　= ((a + c) + e) + ((b + d) + f)√2
　　= (a + (c + e)) + (b + (d + f))√2
　　= (a + b√2) + ((c + e) + (d + f)√2)
　　= (a + b√2) + ((c + d√2) (e + f√2))
　　= A + (B + C)
　等号の理由は、次の通り:
　　A, B, C の定義。Q(√2) の＋の定義。
　　Q(√2) の＋の定義。Q の結合法則。
　　Q(√2) の＋の定義。Q(√2) の＋の定義。
　　A, B, C の定義。
1(unt) ＋単位元（零）の存在。0 + 0√2 が零。
　略。
1(inv) 可逆。(-a) + (-b)√2 が A = a + b√2 の＋逆。
　略。
1(cmm) Q(√2) の＋は可換。
　略。
2(ass) 略。
2(unt) ×単位元の存在。 1 + 0√2 が単位元。
　略。
2(inv) 可逆。1/(aa-2bb) - b/(aa-2bb)√2 が A = a + b√2 ∈ Q(√2) - {0} の逆。
　略。
2(cmm) 略。
3 A(B + C) と AB + AC をそれぞれ展開し a + b√2 の形にして、
　互いに等しいことを確認。

お礼

ご丁寧にどうもありがとうございましたm(__)m