ガロア理論入門の定理４について

質問

今日は！

ガロア理論入門（寺田文彦　訳）の２０ページの定理４について質問させて
頂きます。
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定理４．任意の行列において、右列階数は左行階数に等しく、
　　　左列階数は右行階数に等しい。体が可換の時は、
　　　四つの数は互いに等しく、これを行列の回数と名づける。

説明を判りやすくして頂くために、下記の行列について
質問させて頂きます。
　　　　A=[2 3 5 8;
1 2 3 5;
1 1 2 3]

　　　　B=[2 3 5 8;
1 2 3 5;
1 1 2 9]
　上記の行列A,Bに於きまして、Aの行階数は３で、列階数は２であり、
　Bの行階数は３で、列階数も３であると思います。
　Aの階数は２で、Bの階数は３と思います。
Q1)上記に間違があれば、ご指摘ください。

Q２)行列Aは、非可換体で、Bは可換体と考えて宜しいでしょうか？
　　可換と非可換の区別が出来ませんので、この質問を致しました。

３)行列の階数は、MatlabやOctaveでrank関数で得ることが出来ますが
　　その行階数、列階数を得ることが出来る関数又はｍコード
　　はありますか？

以上、初心者ですがコメント頂けますと大変あり難いです。

回答No.1

stomachman

ご質問で言う「体」が普通の意味での体を指しているのなら、「ひとつの行列Aが体である」という言い方は意味を持たない。どうも質問者氏は、体って何なのかを全く知らないのではないかな？という気がするんですが…体の定義を書けますか？

　もしかして、その本は「ある体の要素を成分とする行列」について語っているんじゃないのかな？　中学だか高校だかで習う行列は成分が実数や複素数に決まってるけれども、そんな限定なしにもっと一般に、何らかの体の要素を成分とする行列、というものを考えることができる。その話じゃないですか？

　例えば四元数を成分とする行列を考えるなら、四元数全体の集合は（特に積について）非可換な体なので、行列の階数（回数じゃねーでしょ）というものは定義できず、右だの左だの列だの行だの区別をしなくちゃいけない。
　でも、複素数を成分とする行列（ご質問の例もこれ）なら、複素数全体の集合は可換体なんで、そんな区別は必要なくて、行列の階数が定義できる。