コンデンサーの容量が変化する回路

質問

難問に悩まされています。

電源(V)と抵抗(R)とコンデンサー(C)が直列でつながれている回路があります。このとき、コンデンサーの誘電率(ε1→ε2)が印加電圧Vcで変化します。電源の電圧はVc以上です。このような回路の抵抗およびコンデンサーで消費されるエネルギー(時間無限大)はどのようにあらわされるのでしょうか？

誘電率が変化しないときはW(R)=1/2CV^2、W(C)=1/2CV^2のはずです。誘電率が変化するときも同じと考えていいのでしょうか？

大変申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.2

circuit_breaker · ベストアンサー

コンデンサーの両端の電圧をv、その関数を示すのにC(v)を使用します。

電圧値v近傍の誘電率、つまり微分誘電率による容量値をC(v)とします。容量の電圧依存性はあっても、微小区間ではdv=dq/C(v)が成立します。dq=C(v)dvと書いた方が変数分離形で取り扱い易く見えるかもしれません。これからq=F(v)を求めても良いですが、エネルギだけを問題にするなら次の様にしても良いでしょう。

コンデンサに蓄えられるエネルギはvに逆らってdqを流し込んで行く過程の総和：∫vdqで計算出来ますから、dq=C(v)dvを代入すれば∫vC(v)dvとなります。これを最終値Vまで積分すれば良いでしょう。

抵抗に消費されるエネルギは両端の電圧[V-v]にdqを流す過程の総和：∫[V-v]dq 、つまり∫[V-v]C(v)dv　で求めては如何でしょう。この式は、電源から供給されるエネルギ、∫Vdqすなわち∫VC(v)dvから、コンデンサに蓄えられるエネルギ∫vC(v)dvを引いたものとも解釈されます。

想像しますに、本来の興味は「容量の電圧依存性によって抵抗に消費されるエネルギとコンデンサに蓄えられるエネルギの比が１：１からどう転ずるか」にあるのでは無いかと思います。
例えば電圧の１次に比例するC(v)を過程すると、抵抗で消費されるエネルギはコンデンサに蓄えられるエネルギの半分になる様です。よろしければ検算してみて下さい。次数が高いほど効率は良くなります。

極端な話、V近くまで容量が零で、Vの僅か手前で急速に容量が大きくなるようなコンデンサがあったとします。その場合、抵抗による電圧ドロップに電荷移動のエネルギが消費される事なく、充電に振り当てられると言う事でしょう。

通常見かけられる飽和特性では、抵抗の消費がコンデンサのエネルギを上回るという結論で残念です。

お礼

ありがとうございます。

わかりやす説明ありがとうございました。
質問の趣旨は、ご想像のとおりです。

ありがとうございました。

回答No.3

foobar

気になってので、計算してみました。

電源電圧E,抵抗R,電荷Q,容量C,コンデンサの端子電圧Vcとすると、
E=R dQ/dt + Vc
両辺に i=dQ/dt をかけて、時間で積分すると、(左辺と右辺第二項でdtが消えて)
∫EdQ=∫R i^2 dt +　∫Vc dQ
Eは定数、充電完了時にはVc=E,Q=E＊C(E)、
ということで、
1. 縦軸にVc、横軸にQ=C（Vc)＊Vc　（C は Vcの関数）のグラフ（V-Q特性)を書く
2．Vc=E　の水平線と、1．で書いた曲線の交点から横軸に垂線を下ろす。
3. 電源から供給されるエネルギーは、2．の水平線と垂線で囲まれる長方形の面積、コンデンサに供給されたエネルギーは、長方形のうち曲線で仕切られた下側の面積、抵抗で散逸したエネルギーは曲線の上側の面積

てなことになるかと。

お礼

ありがとうございます。

やはり、抵抗でのエネルギーとコンデンサーのエネルギーは違うわけですね。
図でかくとよくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.1

foobar

誘電率が コンデンサの両端電圧Vcがある値Vc0の時に、急峻に変化する という条件でしょうか?(あとの式の都合上、ちょっと記号を変えてあります)
もしそうなら、

電源電圧 =R dQ/dt +Vc , Vc=Q/C の式について

1. Vcが0->Vc1までの間について、C=一定(C1)の条件で、解いて、Rでのエネルギー散逸、Cに溜ったエネルギー、(電源から出たエネルギー)を計算する

2. Vc=Vc1 では、Vc=Vc1(一定)の元でCがC1からC2まで変化するので、
電源電圧= R dQ/dt +Vc1, Q=C Vc でCの変化分だけ、Qが変化するとして、Qの変化、Rでの散逸エネルギー、(およびコンデンサでの散逸エネルギー)を計算する

3. VcがVc1->電源電圧の間について 再度C＝一定(C2)の条件でt=無限大 までの各エネルギーを計算する。

4. 1から3までの各ステップでの計算値を合算する

という手順で計算することになるかと思います。

このケースだと、 ステップ2でコンデンサ内でのエネルギー散逸(とそれに伴う抵抗でのエネルギー消費)がおきますので、誘電率が変化しない場合とは様相が変わるかと思います。

お礼

ありがとうございます。

実は、誘電率は徐々に変化します。しかし、0～Vc1でε1、Vc2～∞でε2、Vc1～Vc2では直線的に変化すると考えることは可能です。ステップに分けて、計算してみます。ただ、Vc1～Vc2での取り扱いをどうすればいいのかいまいちわかりません。

ありがとうございました。