コンデンサーと電気回路の問題について

質問

電気回路の問題を解いていて、わからないところがあります。
コンデンサーについての問題なのですが、答えを読んでも理解しがたいので、どなたかわかりやすくご教授いただけませんか？お願いします。
まず、コンデンサーについての理解が足りないのかもしれませんが、どの参考書を見てもQ=CVとかそういう類のことしか書いていなくて、回路の問題についての記述があまりなくて困っています。

問題文です。
E=12[V]の電源、R_1=2[kΩ],R_3=3[kΩ],R_3=R_4=5[kΩ],の抵抗、C_1=20[μF],C_2=40[μF]のコンデンサー、S_1,S_2,S_3のスイッチを用いた回路です。
最初、コンデンサーに電荷はなく、スイッチは開いているものとします。R_1～R_4以外の抵抗は無視できるものとします。
(1)スイッチS_1,S_2を閉じると点Q(C_1とC_2の間)の電位を求めよ
(2)さらに、スイッチS_3を閉じた。コンデンサーに蓄えられる電気量はいくらか
(3)その後、スイッチS_3を開き、続いてスイッチS_1を開いた。コンデンサーC_2に蓄えられる電気量はいくらになるか。また、点Qの電位はいくらになるか求めよ。

解答
(1)V=(20/(40+20))×12=4[V]
(2)C_1で蓄えられる電圧はR_1での電位差に等しい。
R_1:12×(2/(2+3))=24/5[V]
Q=CVより、Q=20×24/5=96[μC]
(3) (2)の状態でC_2に蓄えられた電荷は、
12×(3/5)×40=288[μC]
S_3を開いても、C_1-C_2間の電荷は保存される。
電荷の和は、
-96+288=192[μC]
C_1,C_2に蓄えられている電荷をそれぞれQ_1,Q_2とすると、アースにつながっているため、2つのコンデンサーの電位の和は0
Q_1+Q_2=192(1)
Q_1/20+Q_2/40=0(2)
(1),(2)より、Q_1=-192,Q_2=384
384/40=9.6[V]

主な疑問
(1)勉強不足で申し訳ありませんが、なぜ解答のような式になるのかわかりません。
調べてみましたが、コンデンサー１つの回路は多くお目にかかっても、２つの直列回路のコンデンサーでおまけに中間となるとどのように考えたら良いのかわかりませんでした。
(2)解答に「C_1で蓄えられる電圧はR_1での電位差に等しい」とありますが、R_3は考慮しないのですか？
(3)まだここまで手がまわっていないんですが、もしよりわかりやすい追加情報があればお願いしたいです。

皆さんお忙しい中、この質問を見ていただきありがとうございました。

回答No.2

mtaka2 · ベストアンサー

コンデンサを理解する上でのポイントは二つです。

1. 電荷と電圧の関係(Q=CV)
Q=CVを変形すると、V=Q/Cです。
つまり、コンデンサの電圧は「電荷に比例」し「容量に反比例」します。

2. 電荷と電流の関係(Q=∫I dt)
電流とは、「単位時間あたりに流れる電荷の量」と定義されています。
そのため、逆に「電流を時間積分」すると電荷が求まります。

積分という言葉を使わずに、大雑把に言うならば、
2アンペアの電流を5秒流したら、電荷は2×5=10クーロンといった感じで、
「電流を積算したら電荷になる」のです。

以上の二つさえ押さえた上で、以下、問題の解き方の説明。

> 問題1.
C_1に貯まる電荷をQ_1、C_2に貯まる電荷をQ_2とします。
このとき、C_1とC_2は直列繋ぎですから、充電過程では、まったく同じ電流二つのコンデンサにが流れます。
ですから、上述の「電荷と電流の関係」から、C_1とC_2にはまったく同じだけの電荷が貯まります。
つまり、Q_1 = Q_2 です。

一方、電荷と電圧の関係から、C_1・C_2それぞれの充電電圧V_1・V_2とすると、
Q_1 = C_1 × V_1、Q_2 = C_2 × V_2 になります。

あとは、V_1 + V_2 = 12V ですので、
「Q_1 = Q_2」「Q_1 = C_1 × V_1」「Q_2 = C_2 × V_2」「V_1 + V_2 = 12V」
この4式をV_2について解くと、
V_2=C_1÷(C_1+C_2)×12V
という式になります。

> 問題2.
これは問題1にも関係するのですが、
スイッチを切り替えてしばらく時間が経つと、コンデンサの充放電が落ち着いて、コンデンサにはまったく電流が流れなくなります。(これを「定常状態」と呼びます)

定常状態では、コンデンサに繋がったR_3、R_4にも電流は流れません。オームの法則からこのとき、R_3、R_4の端子間の電圧差も0Vになります。
(そのため、問題1でも、R_3の電圧は0Vですから、C_1の上側の端子電圧は電源電圧と同じ12Vになります)

お礼

前の方の回答を見てから、定常状態について知らなかったことに気づいて調べていた矢先、定常状態について触れていただき、一層理解が深まりました。
電磁気学で積分が出てくるのは知っていましたが、概念をあまりよくわかっていなかったこともあり、簡単にでもお話を聞けてよかったです。
ベストアンサー迷いましたが、定常状態に触れられていたのでこちらの方に決めさせていただきました。
お忙しい中、３人の方からご教授いただけて幸せです。本当にありがとうございました。

回答No.3

BookerL

この問題では、電流は Ｒ1 と Ｒ2 の所を流れ、コンデンサーは充電されるとそれ以上電流は流れないので、Ｒ3 Ｒ4 にはＳ3 が開いていても綴じていても電流が流れません。

(1) では、Ｒ4 が開いているので、二つのコンデンサーが直列になっています。
　直列のコンデンサーでのポイントは、それぞれに蓄えられる電荷が等しい、ということです。（初めにどちらも充電されていない場合）この問題では、Ｃ1 にＱ[C] の電荷が蓄えられるとすると、Ｃ1 の下の極板から Ｑ[C] の電荷が出て行き、それが、Ｃ2 の上の極板に蓄えられる、という状態になり、どちらにもＱ[C] の電荷が蓄えられます。

　Ｑ＝ＣＶ の関係から、Ｑ一定なら、ＶはＣに反比例しますので、Ｃ1 の電圧を Ｖ1、Ｃ2 の電圧を Ｖ2 とすると、Ｖ1 ： Ｖ2 ＝ Ｃ2 ： Ｃ1 ＝ ４０：２０ となります。
　Ｖ1＋Ｖ2＝１２ なので、Ｑ の電位は、１２ を ４０：２０で分けたものになり、解答のようになります。

(2) では、Ｓ3 が閉じていますので、Ｑ1 の電位は Ｒ1 と Ｒ2 の間の点の電位と等しくなります。（始めに書いたように、Ｒ3 Ｒ4 には電流が流れないので、ここでの電圧降下はない）
　つまり、Ｃ1 にかかる電圧は Ｒ1 にかかる電圧に等しく、Ｃ2 にかかる電圧は Ｒ2 にかかる電圧に等しくなります。

(3) では、Ｓ3 を開くと Ｑ点の電位が変わり、コンデンサーに蓄えられる電荷も変化します。このとき、Ｃ1 の下の極板と、Ｃ2 の上の極板の間で電荷が移動しますが、この部分から外へは出ないので、ここでの電荷の合計は保たれます。つまり、Ｓ3 が開かれる前は、Ｃ1 の下の極板に －９６[μC]、Ｃ2 の上の極板に ＋２８８[μC] が蓄えられていたのが、合計はそのままで Ｑ1 と Ｑ2 になる、ということです。

お礼

すべての問いに対して解答いただき、ありがとうございます。
御蔭さまで、細部まで確認できました。
参考にして今度問い3に取り組みたいと思います。
分りやすい回答、本当にありがとうございました。

回答No.1

ymmasayan

コンデンサーの直列問題結構てこずりますよね。

でも、Ｑ＝ＣＶ　で全部解けるんです。

１．Ｃ１とＣ２には同じ量の電荷Ｑが蓄えられます。
　　電圧をＶ１・Ｖ２とするとＱ＝Ｃ１＊Ｖ１＝Ｃ２＊Ｖ２
　　この式からＶ１を求めてＶ２を加えると１２Ｖです。
　　と言うことでＶ１，Ｖ２が求まります。
２．定常状態ではＲ３，Ｒ４には電流が流れないので無いに等しいです。

残りもＱ＝ＣＶを適用すれば解けるはずです。

お礼

素早い回答ありがとうございました。
お礼が遅くなってしまい、申し訳ございません。
Q=CVこそがコンデンサーの真髄みたいなものだったんですね。
甘く見てました…。
式の意味が把握でき、自分の知識も整理できました。
本当にありがとうございます。