体、同次多項式

質問

Ｋが無限体で、F(x,y,z)∈Ｋ[x,y,z]がすべてのλ,x,y,z∈Ｋに対して
F(λx,λy,λz)＝(λ^n)F(x,y,z)をみたせば、
各単項式の次数がｎであることを示せ。

背理法で、F(x,y,z)の項のひとつで(x^i)*(y^j)*(z^k)があって
i+j+k≠nと仮定してF(λx,λy,λz)＝(λ^n)F(x,y,z)の両辺の係数比較で
λ^(i+j+k)＝λ^nまで導いたんですが、本当に矛盾してるか分かりません。
i+j+k≠nならλ^(i+j+k)≠λ^nという風に矛盾が示したいんですが、
本当に任意の無限体の元について成り立つのか心配です。
だれか助言お願いします。

回答No.4

tecchan22 · ベストアンサー

僕は下の方ほど詳しくないですが、まあ考えてみますと、

確かに、まず係数比較が成り立つことを証明せねばならないでしょうね。
それも、無限体ということから証明できます。（略。考えてみて下さい）

その上で、n,i,j,k　が定数のとき、
「任意のλに対してλ^(i+j+k)＝λ^n ならば、i+j+k＝n」
を示したいのですよね。

それは、次のように示せます。

背理法で示す。
もしn≠i+j+k だったとすると、n とi+j+k との差を m とおくと、
m＞0であり、
任意のλ≠０に対して、λ^m＝１　　・・・(1)
ですよね。
（Ｋは体だから、０でないものを何乗しても０でない。よって
λ≠０のとき、λ^(i+j+k)＝λ^n の両辺を、左辺または右辺で割って、上式を得る）

ところが、「Ｋは体より、x^m＝１の解の個数はm 個以下」（これは
定理ですね）だから、
Ｋが無限体であることから、(1)は成り立たない（矛盾する）訳です。
（証明終わり）

つまり、
i+j+k≠n のとき、λが０や、１のｍ乗根のときは
λ^(i+j+k)＝λ^n　となるが、
λがそれ以外のときは、
λ^(i+j+k)≠λ^n　となる、ということです。

以上です。^^

回答No.3

koko_u_

条件は

すべてのλ,x,y,z∈ K に対して F(λx,λy,λz)＝(λ^n)F(x,y,z)

ですから、これは K の元として等しいということです。

「係数を比較」するということは、多項式環 K[X, Y, Z] の元として

すべての λ∈K に対して F(λX, λY, λZ) = (λ^n)F(X, Y, Z)

を考えており、これは問題の条件と同じではありません。

回答No.2

koko_u_

>ちょっと分からないです…。
>教えてもらっていいですか？
ダメ。

>i+j+k≠nと仮定してF(λx,λy,λz)＝(λ^n)F(x,y,z)の両辺の係数比較で
>λ^(i+j+k)＝λ^nまで導いたんですが
とりあえず、この導出を補足欄にどうぞ。
係数比較と言ってる時点で間違ってますが。

補足

背理法で、F(x,y,z)の項のひとつで(x^i)*(y^j)*(z^k)があって
i+j+k≠nと仮定して、F(x,y,z)における(x^i)*(y^j)*(z^k)の項の
係数をmとおく。
するとF(λx,λy,λz)の(x^i)*(y^j)*(z^k)の項の係数はm*λ^(i+j+k)、
(λ^n)F(x,y,z)の(x^i)*(y^j)*(z^k)の項の係数はm*λ^n
よって両辺の(x^i)*(y^j)*(z^k)の係数を比較するとλ^(i+j+k)＝λ^n

です。これは間違えてるんですか？

回答No.1

koko_u_

K の要素が無限個あることが必要なので、それをどう使うかを考えて下さい。

補足

ちょっと分からないです…。
教えてもらっていいですか？