位置関数から時間を消去すれば何故軌跡が導けるか

質問

非常に根本的な問題です。
例えば斜方投射で、仰角をθとすると、x=vtcosθ、y=vtsinθ-1/2gt^2と時刻ｔに於ける位置の式が出ます。
この軌跡を求めるにはｔを消して、y=xtanθ-gx^2/{2v^2・(cosθ)^2}で表現出来ます。

と今まで当たり前の様に納得していましたが、なぜ時間ｔを消すと軌跡が導けるのでしょうか。
改めて考えるとロジックを上手く思い付きません。

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

お考えの状況では、位置（x, y）がx(t), y(t)と変数がtのみの関数であるわけですね。

　解析的に解けるかどうかに立ち入らないことにして（※今の場合、そこが問題ではない）、x, yをtについて解き、t＝f(x), t＝g(y)（※f(x), g(y)はtを含まないように解いた関数）とすれば、f(x), g(y)は時刻tにおけるxとyの状況を表します。

　そこで、f(x)＝g(y)とすれば、この関係式はどんな時刻tでも成り立つ関係式となります。それは時刻tの-∞→+∞における、(x, y)に他なりません。

　それが軌跡を表すということは、自明と考えて差し支えないでしょう。つまり、tを消去するという操作は、あらゆるtの状況を表す結果を得ることになるわけです。

P.S.

　上記は、t＝f(x, y), t＝g(x, y)と、それぞれが2変数関数となっても同様です。

補足

どのような時刻tでも成り立つ関数とは、すごく分かりやすいです。
但し、t=f(x), t=g(y)は時刻tにおけるxとyの状況とありますが、t=f(x)は素直に読めばxに於ける時刻tではないでしょうか。
xが定義域、tが値域。ただし、tは-∞から⁺無限大まであるのに対して、xの取りうる範囲は有限。

xの位置が分かればその時の時間が分かる。yの位置が分かればその時の時間が分かる。
ある時間tに於いてはf(x)とg(y)が一致する。実はこのtは任意の時間であるので、
時間に関係なくf(x)=g(y)が成り立つ。
言い換えれば時間がどう変化しようと、上記の関係式であらわされる領域以外を通過しない。
これが軌跡である。

と理解しましたが、よろしいでしょうか。

回答No.4

noname#212313

#3です。

>t=f(x)は素直に読めばxに於ける時刻tではないでしょうか。

　一読させて頂いて、「おお、そう表現すればよかったんだ」と思いました。

　先の回答を書きながら自分でも「ちょっと、どうもしっくりこない表現だな」と思っていたんですが、どう書くか思いつきませんでした。逆関数で考えるということですから、仰るように素直に言えばよかったんだ、と言われた今は思います。

　その後のご説明も、まさにその通り、というところです。筋道だっていて、過不足がありません。先はそのようにすんなり筋が通る回答が書けず、申し訳ありません。今後はもう少し頭を整理して書けるようにしたいと存じます。

お礼

回答有難うございます。
自分も逆関数が頭に過りました。しかし、逆関数は存在はするけれども、実感することが困難なので、素直に表現した方が良かったかも知れません。
数学的に言えば、変数を消すのは中学校からやっており、何も抵抗が無かったのですが、
改めて物理現象を深く考えてみると今更疑問に思えて来ました。
これに自分自身気が付いたのと、改めて問題が解決出来たことは自分に非常に大きなプラスでした。
いまだに疑問なく代入法で計算している人が大多数なのかと思っています。

回答No.2

stomachman

軌跡Cは点(x,y)の集合です。ご質問の例の場合
　　C = {(x,y) | ∃t(t∈R ∧ x=vtcosθ ∧ y=vtsinθ-1/2gt^2}
である。つまり、「(x,y)が連立方程式
　　x=vtcosθ
　　y=vtsinθ-1/2gt^2
の解になるようなtが存在する」という性質を満たす(x,y)の全体がCである。

　ここからtを消去してやれば、「(x,y)が方程式
　　y=xtanθ-gx^2/{2v^2・(cosθ)^2}
の解になる」という性質を満たす(x,y)の全体がCである。すなわち
　　C = {(x,y) | y=xtanθ-gx^2/{2v^2・(cosθ)^2}}

　なお、ご質問の例の場合には、方程式が最初からyについて解けた形に書けていて、xがどんな実数であっても「(x,y)がこの方程式の解になるようなy」がちょうどひとつだけ存在しますが、一般にはそうとは限らない。たとえば
　　x = cos t
　　y = sin t
という運動なら、
　　C = {(x,y) | x^2 + y^2 = 1}
となって、（この軌跡が円軌道だということを考えれば当たり前ですが）|x|>1の時、また|y|>1のときには(x,y)はCの要素ではないし、yについて解くと
　　y = ±√(1-x^2)
となって、xをひとつ決めると、方程式を満たすyが2個ある。

回答No.1

spring135

>なぜ時間ｔを消すと軌跡が導けるのでしょうか

軌跡というものが通り過ぎた経路を後で眺めているわけです。つまり、x(t),y(t)が与えられて、

時間の情報は要らん、x,yの関係だけほしいといっているわけです。ただし、x,yは独立ではない、

その拘束が時間によって与えられていると解釈できます。

お礼

なるほど。確かに例えば0.1秒刻みでプロットして行けば、終わった後に軌跡が現れますね。
言い換えれば全てのtの記録を残すと軌跡になる。

その意味で、x(t)、y(t)がすべての基本の様に思えてきました。
vx(t)=dx/dt、vy(t)=dy/dt、ax(t)=d2x/dt2、ay(t)=d2y/dt2。
更に質量が分かれば、fx(t)=m・ax(t)、fy(t)=m・ay(t)から、
その瞬時に作用した力まで分かりますね。