一定速度で動く点の軌跡がy=sin(x)となる場合のy=g(t),x=f(t)を知りたい

質問

一定速度で移動する点の軌跡がy=sin(x)となる場合の、時刻tによる媒介変数表示関数を教えてください。
以下のような連立式を立ててみたのですが、解き方が判りません。
・y=g(t)
・x=f(t)
・y=sin(x)
・{g'(t)}^2+{f'(t)}^2=C^2
・g'(0)=f'(0)=C/√2
よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

y = sin(x) が任意の t で成り立ちますから、
g(t) = sin(f(t)) は恒等式です。
これと {g '(t)}^2 + {f '(t)}^2 = C^2 との
連立方程式と考えればよいですね。

f(t), g(t) を使って書くと式が煩瑣になるので、
y = sin(x)　…[1]
(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 = C^2　…[2]
のように書くことが多いと思います。

[1]を[2]へ代入して y を消去すれば、
(dx/dt)^2 + {cos(x) (dx/dt)}^2 = C^2 より、
dt/dx = (1/C) √{ 1 + cos^2(x) }　…[3]
と変形できます。

[3]を積分すれば f(t) の逆関数が得られますが、
ここで現われる不定積分 ∫√{ 1 + cos^2(x) }dx は、
加減乗除、指数、対数、三角関数、逆三角関数の合成では
書き表すことのできない関数であることが知られています。

興味があれば、「第二種楕円積分」を検索してみて下さい。
x = f(t) を u = C t, z = x + (π/2) で置換した
u = ∫√{ 1 + sin^2(z) }dz に関する説明が、
いろいろ見つかると思います。

お礼

早速にも丁寧なご回答、ありがとうございました。
簡単な数式では表せないのですね・・・。
「第二種楕円積分」について、自分の頭で理解できるか甚だ疑問ですが、サイト巡りをしてみようと思います。

実はやりたかったことはセカンドライフという仮想世界の中で一定の軌道に沿って動く、いわば遊園地のライドのような物を作ることでして、一定速度で違和感なくカーブする連続座標を算出したかったのです。
ですので、それほど精度を必要とする訳でもないんですけどね。

回答No.1

phusike

Cをどうおいても本質的には変わりませんので、
C = 1 としましょう。

ここで、dx/dt = cos(θ(t)+π/4), dy/dt = sin(θ(t)+π/4) とおき、
θ(0) = 0 とすると、
>・{g'(t)}^2+{f'(t)}^2=C^2
>・g'(0)=f'(0)=C/√2
が自動的に満たせます。

y = sin x の両辺をtで微分しますと、
y' = x' cos x ですから、
cos(θ(t)+π/4) = dx/dt = (d/dt)arccos( tan(θ(t)+π/4) )
のθに関する微分方程式を解けばよいということになります。
解析的には解けなさそうな気がしますね。
面倒なのでやりませんが^^;